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专项训练三　与角平分线有关的几何问题
类型一　运用角平分线定理
图形中出现角平分线上一点到一边的垂线,考虑过该点作另一边的垂线.
已知,点P是∠MON的平分线上一点,PA⊥OM于点A.
【结论】PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP.
① 如图,OP平分∠AOB,∠AOB=60°,PD⊥OA于点D,E是射线OB上的一个动点,若OP=6,则PE的最小值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
② (2024·沧州南皮县二模)如图,已知∠ABC,以点B为圆心,以任意长为半径作弧分别交射线BA,BC于 点M,N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;在射线BC上取点H,以点H为圆心,以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D;点E,F分别在射线BA,HD上,∠AEF=68°,射线EF,BD交于点G,∠FDG=39°,则∠EGB= (　　)
A.29° B.30° C.38° D.39°
③ (2023·南充)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E.则下列结论错误的是 (　　)
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
类型二　构造等腰三角形
情形1　图形中出现角平分线时,考虑作平行线,构造等腰三角形.
(1)已知,OC是∠AOB的平分线,点P为OC上一点.
【结论】△OPD是等腰三角形.
(2)已知,OC是∠AOB的平分线,点D为OA上一点.
【结论】△OED 是等腰三角形.
情形2　延长垂线,构造等腰三角形,借助三线合一解题.
已知,点P是∠MON平分线上一点,AP⊥OP于点P.
【结论】△AOB是等腰三角形,AP=BP.
④ (2024·秦皇岛青龙县模拟)如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB交OA于点C.若PC=10,则OC=　　　　,PD=　　　　.
⑤ (2023·潍坊)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,过点E作EF∥BC,交AC于点F,G为BC的中点,连接FG.求证:FG=AB.
类型三　构造全等三角形
情形1　已知,点P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上任意一点(截长法).
【结论】△OPB≌△OPA.
情形2　已知,在△ABC 中,AD平分∠BAC(补短法).
【结论】△AFD≌△ACD.
⑥ (2024·沧州一模)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,E是BD的中点,若AB=2BC,AD=5,求CE的长.
⑦ 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠D=∠B,若AB=4,BC=2,求AD的长.
【详解答案】
对应练习
1.B　解析:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠POD=∠AOB=30°.
∵PD⊥OA于点D,
∴∠ODP=90°,
∴PD=OP=×6=3.
当PE⊥OB时,PE的值最小,
∵OP平分∠AOB,PD⊥AO,
∴PE=PD=3,
∴PE的最小值是3.故选B.
2.A　解析:由基本作图得到BP平分∠ABC,BH=DH,
∴∠ABP=∠CBP,∠HBD=∠BDH,
∴∠ABP=∠BDH,
∴FH∥AB,
∴∠EFD=∠AEF=68°.
∵∠FDG=39°,
∴∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°.故选A.
3.C　解析:由作图方法可知,AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD.故A结论正确,不符合题意;∵∠C= 90°,DE⊥AB,∴CD=DE,故B结论正确,不符合题意;在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==8,∵S△ABC=S△ACD+S△BAD,∴AC·BC=CD·AC+AB·DE.∴×6×8=×6CD+×10CD.∴CD=3.∴AD==3,故C结论错误,符合题意;BD=BC-CD=5,∴CD∶BD=3∶5,故D结论正确,不符合题意.故选C.
4.10　5　解析:∵OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP.
∵PC∥OB,
∴∠CPO=∠BOP,
∴∠CPO=∠AOP,
∴PC=OC.
∵PC=10,
∴OC=PC=10.
如图,过点P作PE⊥OA于点E,
∵PD⊥OB,OP平分∠AOB,
∴PD=PE.
∵PC∥OB,∠AOB=30°,
∴∠ECP=∠AOB=30°.
在Rt△ECP中,PE=PC=5,
∴PD=PE=5.
5.证明:∵EF∥BC,
∴∠CEF=∠BCE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE.
∴∠CEF=∠ACE.∴EF=CF.
∵AE⊥CD,
∴∠AED=∠AEC=90°.
又∵∠AED=∠ACE+∠CAE,∠AEC=∠AEF+∠CEF,
∴∠CAE=∠AEF.∴EF=AF.
∴CF=AF,即F为AC的中点.
又∵G为BC的中点,∴FG=AB.
6.解:如图,延长BC至点F,使得CF=BC,连接DF.
∵AB=2BC,∴BF=BA.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD.
∵BD=BD,∴△BDF≌△BDA.
∴DF=DA=5.
∵E为BD的中点,
∴CE为△BDF 的中位线,
∴CE=DF=.
7.解:如图,在AD上取一点E,
使得AE=AB,连接CE,
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠EAC,
∵AB=AE,AC=AC,
∴△BAC≌△EAC(SAS),
∴∠B=∠AEC,BC=EC.
∵∠D=∠B,
∴∠D=∠AEC.
∵∠D+∠ECD=∠AEC,
∴∠D=∠ECD,
∴CE=DE,
∴BC=DE,
∴AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6.

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