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专项训练六　常考解直角三角形模型
类型一　背靠背型
图形背景一般为锐角三角形,通过在三角形内作高,构造出两个直角三角形,其中公共边CD是解题的关键.
【等量关系】CD为公共边,AD+BD=AB.
模型演变
图1　 　图2
【等量关系】如图1,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如图2,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB.
① (2024·绥化)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为
　　　　m(结果保留根号).
类型二　母子型
若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键.
【等量关系】BC为公共边,如图1,AD+DC=AC;如图2,DC-AC=DA.
图1　　 图2
模型演变1
图3　　 图4
【等量关系】如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE.
模型演变2
图5　 　图6　 　图7
【等量关系】如图5,BE+EC=BC;如图6,EC-BC=BE;如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF =BG.
模型演变3
图8　　 图9
【等量关系】如图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG;如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC= EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG.
② (2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°,点B到水面的距离BC=1.20 m,点A处水深为1.20 m,到池壁的水平距离AD=2.50 m.点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β,折射角为γ,求的值(精确到0.1,参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75).
③ (2024·辽宁)如图1,在水平地面上,一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2,此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3 m,∠CAB=60°,停止位置示意图如图3,此时测得∠CDB=37°(点C,A,D在同一直线上,且直线CD与地面平行),图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计,运动过程中绳子总长不变.
(1)求AB的长.
(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1 m).
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
图1　 图2　 图3
类型三　拥抱型
分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键.
【等量关系】BC为公共边.
模型演变
图1　 图2 图3
【等量关系】如图1,BF+FC+CE=BE;如图2,BC+CE=BE;如图3,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG, DG+AB=DE.
④ (2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示,斜坡BE的坡度i=1∶,BE=6 m,在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°,在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.
(1)求点B离水平地面的高度AB.
(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号).
【详解答案】
对应练习
1.(50+50)　解析:由题意,得AD⊥BC,
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AD=50 m,
∴CD=AD·tan 60°=50×=50(m).
在Rt△ABD中,∠BAD=45°,
∴BD=AD·tan 45°=50×1=50(m),
∴BC=BD+CD=(50+50)m,
∴这栋楼的高度为(50+50)m.
2.解:如图,过点E作EH⊥AD于点H,
由题意可知,∠CEB=α=36.9°,
EH=1.20 m,
∴CE=≈=1.60(m),
∴AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(m),
∴AE===1.50(m),
∴sin γ==0.60.
∵sin β=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α≈0.80,
∴≈1.3.
3.解:(1)如题图2,在Rt△ABC中,AC=3 m,∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6 m,
故AB的长为6 m.
(2)在Rt△ABC中,AB=6 m,AC=3 m,
根据勾股定理,得BC=
=3(m).
在Rt△BCD中,∠CDB=37°,
∵sin∠CDB=,即≈0.60,
∴BD≈=8.65(m),
∴CE=BD-BA=8.65-6=2.65≈2.7(m),
故物体上升的高度CE约为2.7 m.
4.解:(1)由题意,得BA⊥AE,
∵斜坡BE的坡度i=1∶,∴.
在Rt△ABE中,tan∠BEA=,
∴∠BEA=30°.
∵BE=6 m,
∴AB=BE=×6=3(m),AE=AB=×3=3(m),
∴点B离水平地面的高度AB为3 m.
(2)如图,过点B作BF⊥CD,垂足为F.
由题意,得AB=CF=3 m,BF=AC,
设EC=x m,
∵AE=3 m,
∴BF=AC=AE+CE=(x+3)m.
在Rt△CDE中,∠DEC=60°,
∴CD=CE·tan 60°=x(m).
在Rt△BDF中,∠DBF=45°,
∴DF=BF·tan 45°=(x+3)(m).
∵DF+CF=CD,
∴x+3+3=x,
解得x=6+3,
∴CD=x=(6+9)(m),
∴电线塔CD的高度为(6+9)m.

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