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专项训练七　求阴影部分的面积
类型一　公式法
S阴影=S扇形MEN
① (2024·石家庄模拟)如图,△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1)的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置,且点A',C'仍落在格点上,则线段AB扫过的图形的面积是(　　)
A. B. C. D.
类型二　直接和差法
S阴影=S△ABC-S扇形CAD
② (2024·吉林)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为 　　　　m2(结果保留π).
③ 如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,点C为☉O上的一点,连接PC,AC,OC,且PC=PA.
(1)求证:PC为☉O的切线.
(2)延长PC与AB的延长线交于点D,求证:PD·OC=PA·OD.
(3)若∠CAB=30°,OD=8,求阴影部分的面积.
类型三　间接和差法

S阴影=S扇形EOB+S△OCE-S扇形COD

S阴影=S扇形AOC+S△OBC
④ (2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是 (　　)
A.π- B.π C.π- D.π-
类型四　转化法
等积转化法

(CD∥AB)
S阴影=S扇形COD
平移转化法

S阴影=S正方形BCFE
对称转化法

S阴影=S扇形ACB-S△ADC
⑤ (2024·邢台威县三模)如图,菱形ACBD中,AB与CD交于O点,∠ACB=120°,以C为圆心,AC为半径作弧AB,再以C为圆心,CO为半径作弧EF分别交AC于点F,BC于点E,若CB=2,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A. B. C. D.
⑥ (2024·遵化二模)如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为弧BB',若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是 (　　)
A. B. C. D.3π
⑦ (2024·重庆A卷)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.32-8π B.16-4π C.32-4π D.16-8π
【详解答案】
对应练习
1.B　解析:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=,由题图可知,线段AB扫过的图形为扇形ABA',旋转角为90°,∴线段AB扫过的图形面积=.故选B.
2.11π　解析:阴影部分的面积为
=
11π(m2).
3.解:(1)证明:∵PA是☉O的切线,
∴∠PAO=90°.
如图,连接PO.
在△PAO和△PCO中,
∴△PAO≌△PCO(SSS),
∴∠PCO=∠PAO=90°,
∵C为☉O上的一点.
∴PC是☉O的切线.
(2)证明:∵PC是☉O的切线,
∴OC⊥PD,
∴sin D=,
∴PD·OC=PA·OD.
(3)∵,∠CAB=30°,OD=8.
∴∠COD=2∠CAB=60°,
∵OC⊥PD,∴∠D=30°,
∴OC=OD=4,∴CD=4,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=×CO×CD-π×CO2=×4×4π×42=8π.
4.A　解析:如图,连接OA,AO',作AB⊥OO'于点B,
∵OA=OO'=AO'=2,∴△AOO'是等边三角形,∴∠AOO'=60°,OB=OO'=1,∴AB=,∴S弓形AO=S弓形AO'=S扇形AOO'-S△AOO'=-2×,∴S阴影=S弓形AO+S扇形AO'O=+.故选A.
5.A　解析:∵四边形ACBD是菱形,∠ACB=120°,∴∠BCD=∠DCA=∠ACB=60°,AB⊥CD,AD=BC=AC=BD=2,∴∠CBA=∠CAB=(180°-∠ACB)=30°,∠AOC=90°,∴OC=AC=×2=1,由勾股定理,得AO=.
∵AC=AD,∠ACD=60°,∴△ACD是等边三角形,∴CD=AC=2,∴DO=CD-OC=2-1=1,∴阴影部分的面积S=S扇形DCA-S△DOA=×1×.故选A.
6.C　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,∴∠ABC=30°.∴AB=2AC=6.根据旋转的性质知△ABC≌△AB'C',则S△ABC=S△AB'C',AB=AB'.∴S阴影=S扇形ABB'+S△AB'C'-S△ABC=.故选C.
7.D　解析:如图,连接AC.
∵两弧有且仅有一个公共点,AD=4,∴AC=2AD=8,∴在Rt△ADC 中,CD==4,∴S矩形ABCD=AD·CD=16.∵两个扇形均为圆,而且它们的半径相等,∴两个扇形为圆,面积之和为S两个扇形=πAD2=8π,∴S阴影=S矩形ABCD-S两个扇形=16-8π.故选D.

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