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专项训练九　利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一　“一线两点”型(一动点+两定点)
类型一　异侧线段和最小值问题
问题:两定点A,B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA+PB值最小.
根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值即为线段AB长.如图,连接AB交直线l于点P,点P即为所求.
① 如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P的坐标是　　　　.
类型二　同侧线段和最小值问题
问题:两定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小.
将两定点同侧转化为异侧问题,同类型一即可解决.如图,作点B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点即为点P.
② (2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为　　　　.
类型三　同侧差最大值问题
问题:两定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
根据三角形任意两边之差小于第三边,|PA-PB|≤AB,当A,B,P三点共线时,等号成立,即|PA-PB|的最大值为线段AB的长.如图,连接AB并延长,与直线l的交点即为点P.
③ 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠,使点C落在点C'处,连接BC',则AB-AC'的最大值为　　　　.
类型四　异侧差最大值问题
问题:两定点A,B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
将异侧点转化为同侧,同类型三即可解决.如图.
④ (2024·沧州模拟)如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P为CD上的动点,则|PA-PB|的最大值为　　　　.
模型二　“一点两线”型(两动点+一定点)
类型一　周长最小型
问题:点P是∠AOB内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN周长最小.
要使△PMN周长最小,即PM+PN+MN值最小,根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可.如图.
⑤ (2024·绥化)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,则∠MPN=　　　　.
类型二　两条线段之和最小型
问题:点P是∠AOB的内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PN+MN最小.
要使PN+MN最小,设法将PN,MN转化在同一条直线上,如图,作点P关于OB的对称点P',即求P'N+MN的最小值,因此只要P'M⊥OA,利用垂线段最短即可求解.
⑥ 如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边DC,BC上,且BF=CE,AE平分∠CAD,连接DF,分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点,过点P作PN⊥AC,垂足为N,连接PM,有下列四个结论:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值为3;③CF2=GE·AE;④S△ADM=6.其中正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③
【详解答案】
对应练习
1.(2,0)　解析:连接AB,设直线AB的解析式为y=kx+b.
∵点A(4,3),点B(0,-3),
∴解得
∴直线AB的解析式为y=x-3.当y=0时,则0=x-3,解得x=2.∴P(2,0).
2.5　解析:取点O'(0,4),连接O'P,O'A,如图,
∵B(0,2),过点B作y轴的垂线l,
∴点O'(0,4)与点O(0,0)关于直线l对称,
∴PO'=PO,
∴PO+PA=PO'+PA≥O'A,
即PO+PA的最小值为O'A的长.
在Rt△O'AO中,
∵OA=3,OO'=4,
∴由勾股定理,得O'A==5,
∴PO+PA的最小值为5.
3.3-3　　解析:∵∠C=90°,CA=CB=3,∴AB==3.由折叠的性质可知AC=AC'=3.∵BC'≥AB-AC',∴当A,C',B三点在同一条直线时,AB-AC'取最大值,最大值即为BC'=AB-AC'=3-3.
4.4　解析:如图,作A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于P,则点P就是使|PA-PB|的值最大的点,|PA-PB|=A'B,连接A'C,
∵△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∴∠CAB=∠ABC=45°,∠ACB=90°.∵∠BCD=15°,∴∠ACD=75°.∵A,A'关于CD对称,∴AA'⊥CD,AC=A'C,∠ACD=∠A'CD=75°,∴∠ACA'=150°.∵∠ACB=90°.∴∠A'CB=60°.∵BC=AC=A'C,∴△A'BC是等边三角形.
∴|PA-PB|=A'B=BC=4.
5.80°　解析:如图,作点P关于OA的对称点E,连接EP,EO,EM,OP,
∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP.
作点P关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF,
∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,
∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最短.
又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,
∠AOB=∠MOP+∠PON,
∴∠EOF=2∠AOB,
又∵∠AOB=50°,
∴∠EOF=100°.
∵在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°.
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+OPN=80°.
6.D　解析:∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD=AD,∠ADE=∠DCF=90°.∵BF=CE,∴DE=CF.∴△ADE≌△DCF(SAS).∴∠DAE=∠FDC.∵∠ADE=90°,∴∠ADG+∠FDC=90°.∴∠ADG+∠DAE=90°.
∴∠AGD=∠AGM=90°.
∵AE平分∠CAD,
∴∠DAG=∠MAG.∵AG=AG,
∴△ADG≌△AMG(ASA).
∴DG=GM,∵∠AGD=∠AGM=90°,
∴AE垂直平分DM,故①正确.由①可知,∠ADE=∠DGE=90°,∠DAE=∠GDE,∴△ADE∽△DGE.
∴.∴DE2=GE·AE,由①可知DE=CF,∴CF2=GE·AE.故③正确.∵四边形ABCD为正方形,且边长为4,∴AB=BC=AD=4,∴在Rt△ABC中,AC=AB=4.由①可知,△ADG≌△AMG(ASA),∴AM=AD=4.∴CM=AC-AM=4-4.由图可知,△DMC和△ADM等高,设高为h,∴S△ADM=S△ADC-S△DMC,∴,∴h=2.
∴S△ADM=·AM·h=×4×2=4.故④不正确.由①可知,△ADG≌△AMG(ASA).
∴DG=GM,∴M关于线段AG的对称点为D,过点D作DN'⊥AC,交AC于N',交AE于P',∴PM+PN最小即为DN',如图所示,由④可知△ADM的高h=2即为图中的DN',∴DN'=2.故②不正确.综上所述,正确的是①③.故选D.

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