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9.1直线的方程-教师版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)
(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)
无
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．
答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　(1)当<α<π时，k<0；
当k>时，<α<.
所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.
(2)如图，
∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
引申探究
1．若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
2．若将题(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．
解　如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，
由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
　已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)
A．150° B．135° C．120° D．不存在
答案　A
解析　由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．
显然直线l的斜率存在，
设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2 ＝2，
所以S△AOB＝××2
≤＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，
由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.
题型二　求直线的方程
例2　根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；
(3)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
(3)由已知，l的两截距不为0，
设l的方程为＋＝1，
则解得或
∴直线l的方程为－＝1或＋＝1，
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，
则B点坐标为(，)．
∴(－1)2＋(＋1)2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
题型三　直线方程的综合应用
命题点1　与基本不等式相结合求最值问题
例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
且有A，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
命题点2　由直线方程解决参数问题
例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．
思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
　直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．
解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A(1－，0)；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)
＝5－(k＋)
＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和 直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【知识拓展】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
错解展示
现场纠错
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
∴＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，
∴a＝2或a＝－2.
纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.
1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案　A
解析　依题意得＝1，解得m＝1.
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π)
C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)
答案　B
解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，
又－1≤－<0，
所以倾斜角的取值范围是[，π)．
3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ .
答案　1或－2
解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋，
依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
1．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．－6C．k<－6 D．k>－2
答案　A
解析　解方程组得
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，
所以k＋6>0且k＋2<0，所以－62．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
答案　A
解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，
依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
答案　A
解析　mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.
令得
故定点坐标为(－2,1)．
4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C.≤k≤4 D．－≤k≤4
答案　A
解析　如图所示，
∵kPN＝＝，
kPM＝＝－4.
∴要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
由已知得k≥或k≤－4.
5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.
易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
答案　D
解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．
答案　3
解析　直线AB的方程为＋＝1，
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
8．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．
答案　x＋y＝0或x－y＋4＝0
解析　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，
直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，
由题意知解得
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
9．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)
解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合题意．
当a≠－1时，直线l的斜率k＝－，
由题意知－>1或－<0，
解得－10.
综上知，a<－或a>0.
10．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为 ．
答案　4
解析　∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．
∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．
∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋＋≥4
(当且仅当m＝n＝时取等号)，
∴＋的最小值为4.
11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，
∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，
∴α∈[，)∪(，]．
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，]．
12．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，
解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式，
得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.9.1直线的方程-学生版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　 　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　 　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　 　)
(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　 　)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　 　)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　 　)
无
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．
引申探究
1．若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
2．若将题(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．
　已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)
A．150° B．135° C．120° D．不存在
题型二　求直线的方程
例2　根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；
(3)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
题型三　直线方程的综合应用
命题点1　与基本不等式相结合求最值问题
例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
命题点2　由直线方程解决参数问题
例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
　直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和 直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【知识拓展】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π)
C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)
3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ .
1．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．－6C．k<－6 D．k>－2
2．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C.≤k≤4 D．－≤k≤4
5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．
8．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．
9．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
10．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为 ．
11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
12．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．9.2两条直线的位置关系-教师版
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　×　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　)
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)
2、过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案　A
解析　直线x－2y－2＝0可化为y＝x－1，
所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝x＋b，
将点(1,0)代入得b＝－.
所以所求直线方程为x－2y－1＝0.
3、已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案　C
解析　依题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
4、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案　D
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
5、设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝________，若l1⊥l2，则a＝________.
答案　　－7
解析　若l1∥l2，则a＋1＝，∴a＝，
若l1⊥l2，则(a＋1)＋6＝0，∴a＝－7.
无
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当m＝2时，代入两直线方程中，
易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，
故必要性成立，故选C.
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2是否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值．
解　①方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2 解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2.
方法二　由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2
a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
②方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由(－)·＝－1 a＝.
方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0 a＝.
【同步练习】
1、已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解　(1)方法一　当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，
l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sin α＝±，所以α＝kπ±，k∈Z.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
题型二　两条直线的交点与距离问题
例2　(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
答案　(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
解析　(1)由得
∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【同步练习】
(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.
解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
(2)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　)
A. B．5 C. D．15
答案　B
解析　设P1P2的中点为P(x，y)，则x＝，y＝.
∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.
∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.
∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，
∴P到原点的距离d＝
＝≥＝5.
1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
【知识拓展】
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
题型三　对称问题
命题点1　点关于点中心对称
例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2　点关于直线对称
例4　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．3 B．6 C．2 D．2
答案　C
解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)．则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
命题点3　直线关于直线的对称问题
例5　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
解得
∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
思维升华　解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【同步练习】
1、已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
解　设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
题型五 妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
思想方法指导　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．
规范解答
解　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．
典例2　求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．
规范解答
解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
典例3　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导　可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．
规范解答
解　方法一　解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，
所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
(3)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(4)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　(1)充分性：当a＝1时，
直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；
(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1.
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件
2．已知两条直线l1：x＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于(　　)
A．－ B. C．－3 D．3
答案　C
解析　由l1⊥l2，可得1×3＋1×a＝0，
∴a＝－3.
3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
答案　A
解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
4．一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)
A. B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，
则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.
故选B.
5．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为＝≠，所以两直线平行，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为，故选C.
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，
即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是
解得
故m＋n＝，故选A.
7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.
答案　0或
解析　由题意得
解得或经检验，两种情况均符合题意，
∴a＋b的值为0或.
8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
答案　－1　1　2
解析　若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan ＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.
9．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
答案　2
解析　直线l经过定点Q(0，－3)，
如图所示，由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得
最大值|PQ|＝＝2，
所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.
10．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案　(2,4)
解析　如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．
由得Q(2,4)．
11．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
12．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解　依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
*13.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，则点P在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)；
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件．9.2两条直线的位置关系-学生版
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)
2、过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3、已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
4、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
5、设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝________，若l1⊥l2，则a＝________.
无
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2是否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值．
【同步练习】
1、已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
题型二　两条直线的交点与距离问题
例2　(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
【同步练习】
(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
(2)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　)
A. B．5 C. D．15
1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
【知识拓展】
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
题型三　对称问题
命题点1　点关于点中心对称
例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
命题点2　点关于直线对称
例4　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．3 B．6 C．2 D．2
命题点3　直线关于直线的对称问题
例5　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【同步练习】
1、已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
题型五 妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．
典例2　求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
三、过直线交点的直线系
典例3　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
(3)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(4)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知两条直线l1：x＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于(　　)
A．－ B. C．－3 D．3
3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
4．一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)
A. B．2 C．3 D．4
5．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.
8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
9．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
10．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
11．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
12．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
*13.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　√　)
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　×　)
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　√　)
无
题型一　求圆的方程
例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
(2)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)2＋y2＝
解析　(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，
(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为
y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.
思维升华　(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
　已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________．
答案　x2＋(y±)2＝
解析　∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
于是圆C的标准方程为x2＋(y±)2＝.
题型二　与圆有关的最值问题
例2　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．
解　设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
引申探究
1．在例2的条件下，求的最大值和最小值．
解　可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
2．在例2的条件下，求的最大值和最小值．
解　＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
思维升华　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，
当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得＝，
即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
题型三　与圆有关的轨迹问题
例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
思维升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解　如图所示，
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.从而
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
1．圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：(－，－)
半径r＝
【知识拓展】
1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
2．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2典例　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
思想方法指导　本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．
(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
规范解答
解　一般解法　(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
巧妙解法　(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案　C
解析　圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足．
2．方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得(x＋)2＋(y－1)2＝＋1－3.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．
答案　(x－2)2＋y2＝10
解析　设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案　(－2，－4)　5
解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
答案　A
解析　AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
答案　B
解析　根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 (　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
答案　B
解析　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即＞，所以原点在圆外．
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案　A
解析　设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝3
答案　A
解析　依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1.
6．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是(　　)
A. B．2 C. D．2
答案　C
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
则C(1,1)，
当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
|PC|min＝＝2，此时|PA|＝|PB|＝.
所以四边形PACB的面积S＝2×××1＝，故选C.
7．设直线l1：mx－(m－1)y－1＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点_______；若直线l1为圆x2＋y2＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数m＝_______.
答案　(1,1)　2
解析　l1方程变形为m(x－y)＋y－1＝0，
令得
∴l1恒过定点(1,1)．
l1过圆心(0，－1)，则m－1－1＝0，∴m＝2.
8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
答案　(x－2)2＋(y＋)2＝
解析　因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．
又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，
解得m＝－.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋)2＝.
9．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为___________________．
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4
解析　设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，
由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，
解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．直线mx＋y－4＝0与直线x－my－4＝0相交于点P，则P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是__________．
答案　[，5]
解析　直线mx＋y－4＝0过定点A(0,4)，直线x－my－4＝0过定点B(4,0)，且两直线互相垂直，所以点P在以AB为直径的圆上运动，圆心K(2,2)，r＝2.
又|QK|＝3，
所以＝3－2≤|PQ|≤3＋2＝5，
即|PQ|的取值范围是[，5]．
11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解　(1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.
设圆心C(a，b)，半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1. ①
由圆C在y轴上截得的线段的长为4，
知r2＝12＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2， ②
由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意．
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)．
由题意可知OA⊥OB，即·＝0，
∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0. ③
由得
2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝，
代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，
∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1，得(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1，得(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
*13.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4.
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　 　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　 　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　 　)
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　 　)
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　 　)
无
题型一　求圆的方程
例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
(2)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
　已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________．
题型二　与圆有关的最值问题
例2　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．
引申探究
1．在例2的条件下，求的最大值和最小值．
2．在例2的条件下，求的最大值和最小值．
　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
题型三　与圆有关的轨迹问题
例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
1．圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：(－，－)
半径r＝
【知识拓展】
1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
2．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2典例　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
2．方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 (　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝3
6．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是(　　)
A. B．2 C. D．2
7．设直线l1：mx－(m－1)y－1＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点_______；若直线l1为圆x2＋y2＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数m＝_______.
8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
9．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为___________________．
10．直线mx＋y－4＝0与直线x－my－4＝0相交于点P，则P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是__________．
11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
*13.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-教师版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　×　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)
(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)
无
题型一　直线与圆的位置关系的判断
例1　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交．
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
　过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[0，]
C．[0,1] D．[－，]
答案　B
解析　设直线l的方程为y－1＝k(x－)，则圆心到直线l的距离d＝，因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以d≤1，即≤1，得0≤k≤.
题型二　圆与圆的位置关系
例2　(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案　(1)B　(2)(－2，0)∪(0,2)
解析　(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.
∴a∈(－2，0)∪(0,2)．
思维升华　判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
　已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解　两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，
故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2＝2.
题型三　直线与圆的综合问题
命题点1　求弦长问题
例3已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案　4
解析　设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，
BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
命题点2　直线与圆相交求参数范围
例4　已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
命题点3　直线与圆相切的问题
例5　已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
思维升华　直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
　(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
(2)若直线xcos θ＋ysin θ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sin θ)2＝相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，
则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，
所以⊥，即AB⊥BC，
故过三点A、B、C的圆以AC为直径，
得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
令x＝0，得(y＋2)2＝24，
解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，
所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，
即|cos θ＋sin2θ－1|＝，|cos θ－cos2θ|＝，
所以cos θ－cos2θ＝或cos θ－cos2θ＝－(不符合题意，舍去)．
由cos θ－cos2θ＝，得cos θ＝，
又θ为锐角，所以sin θ＝，
故该直线的斜率是－＝－，故选A.
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr 相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
考点分析　与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．
一、与圆有关的最值问题
典例1　(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A. B．－ C．± D．－
解析　(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，
∴当x＝－1时有最大值＝7，故选B.
(2)∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB≤.
当∠AOB＝时，
△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝.
设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，
即kx－y－k＝0.由d＝＝得k＝－.
(也可k＝－tan∠OPH＝－)．
答案　(1)B　(2)B
二、直线与圆的综合问题
典例2　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
解析　(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|＝＝，
∴圆C的最小半径为，
∴圆C面积的最小值为π()2＝π.
答案　(1)C　(2)A
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
答案　B
解析　由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且2×1＋(－2)－5≠0，
所以直线与圆相交但不过圆心．
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
答案　A
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－.
3．若点A，B为圆(x－2)2＋y2＝25上的两点，点P(3，－1)为弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为________．
答案　x－y－4＝0
解析　设圆心为M，则M(2,0)，∴kMP＝－1，
∴直线AB的斜率为1，
∴直线AB方程为y＋1＝x－3，即x－y－4＝0.
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____．
答案　5－4
解析　圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为－1－3＝5－4.
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
答案　A
解析　设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案　C
解析　如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)
A. B．2 C．4 D．2
答案　B
解析　圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值为2.
4．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案　A
解析　如图所示，由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，因为直线l与圆C相切．所以＝，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交．
6．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
答案　B
解析　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，得圆心C到直线l的距离
d＝＝1，解得k＝，
此时直线l的方程为y＝(x＋1)．
故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
答案　4π
解析　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
8．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
答案　
解析　∵(1－2)2＋()2＝3<4，
∴点(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部．
当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，)的连线垂直于直线l.
∵＝－，∴所求直线l的斜率k＝.
9．已知点A(1－m,0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则正实数m的最小值为________．
答案　4
解析　圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1，
由已知PA⊥PB，设AB的中点为M(1，0)，
∴|PM|＝|AB|＝m，
又|MC|＝5，r＝1，∴4≤|PM|≤6，
∴正实数m的最小值为4.
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案　
解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解　把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解　(1)圆O1的圆心坐标为(0，－1)，半径r1＝2，
圆O2的圆心坐标为(2,1)，
圆心距为|O1O2|＝＝2，
由两圆外切知，所求圆的半径为r2＝2－2，
圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意知，圆心O1到AB的距离为＝，
当圆心O2到AB的距离为2－＝时，
圆O2的半径r2＝＝2，
此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到AB的距离为2＋＝3时，
圆O2的半径r2′＝＝2，
此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上知，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
*13已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)设圆心C(a,0)(a>－)，
则＝2 a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN ＋＝0
＋＝0
2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
－＋2t＝0 t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．9.4直线与圆、圆与圆的位置关系-学生版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　 　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　 　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　 　)
(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　 　)
无
题型一　直线与圆的位置关系的判断
例1　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
　过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[0，]
C．[0,1] D．[－，]
题型二　圆与圆的位置关系
例2　(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
　已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
题型三　直线与圆的综合问题
命题点1　求弦长问题
例3已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
命题点2　直线与圆相交求参数范围
例4　已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
命题点3　直线与圆相切的问题
例5　已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
　(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
(2)若直线xcos θ＋ysin θ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sin θ)2＝相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是(　　)
A．－ B．－ C. D.
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr 相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
一、与圆有关的最值问题
典例1　(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A. B．－ C．± D．－
二、直线与圆的综合问题
典例2　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
3．若点A，B为圆(x－2)2＋y2＝25上的两点，点P(3，－1)为弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为________．
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____．
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)
A. B．2 C．4 D．2
4．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
6．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
8．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
9．已知点A(1－m,0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则正实数m的最小值为________．
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
*13已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1.
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　√　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
【例2】
1、椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．12
答案　C
解析　由题意知
或
解得m＝4或m＝8.
2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．9
答案　B
解析　由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B.
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
题型二　椭圆的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹
【例3】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案　A
解析　由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
命题点2　利用待定系数法求椭圆方程
【例4】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________．
答案　(1)＋y2＝1或＋＝1
(2)＋＝1
解析　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，
∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
命题点3　利用定义解决“焦点三角形”问题
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案　3
解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，
又∵＝r1r2
＝b2＝9，∴b＝3.
【同步练习】
1．在例5中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解　由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
2．在例5中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝3”，结果如何？
解　|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
3、(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且 2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，
∴＝mn＝1.
思维升华　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
题型三　椭圆的几何性质
【例5】(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．2
(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
【同步练习】　
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案　
解析　联立方程组解得B，C两点坐标为
B，C，又F(c,0)，
则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得
c2－a2＋＝0，①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.
思维升华　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
题型四　直线与椭圆
【例6】设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
解　(1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组
消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，
解得yH＝.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO |MA|＝|MO|，
即(xM－2)2＋y＝x＋y，
化简得xM＝1，即＝1，
解得k＝－或k＝.
所以直线l的斜率为－或.
思维升华　(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【同步练习】1、温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，且离心率等于.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON.
(1)解　由题意得解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　方法一　设直线OM，ON的方程为y＝kOMx，y＝kONx，
联立方程组
解得M(，)，
同理可得N(－，－)，
作MM′⊥x轴，NN′⊥x轴，M′，N′为垂足，
S△OMN＝S梯形MM′N′N－S△OMM′－S△ONN′
＝[(yM＋yN)(xM－xN)－xMyM＋xNyN]
＝(xMyN－xNyM)
＝(＋)
＝，
已知S△OMN＝，化简可得kOMkON＝－.
设P(xP，yP)，则4－x＝2y，
又已知kAP＝kOM，所以要证kBP＝kON，只要证明kAPkBP＝－即可．
而kAPkBP＝·＝＝－，
所以可得BP∥ON.
(M，N在y轴同侧同理可得)
方法二　设直线AP的方程为y＝kOM(x＋2)，代入x2＋2y2＝4，
得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－4＝0，
设P(xP，yP)，则它的两个根为－2和xP，
可得xP＝，yP＝，
从而kBP＝＝－.
所以只需证－＝kON，即kOMkON＝－，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
若直线MN的斜率不存在，易得x1＝x2＝±，
从而可得kOMkON＝－.
若直线MN的斜率存在，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，
代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝8(4k2＋2－m2)>0，
S△OMN＝|m|·|x1－x2|
＝|m|·＝，
化简得m4－(4k2＋2)m2＋(2k2＋1)2＝0，得m2＝2k2＋1，
kOM·kON＝＝
＝＝＝－.
所以可得BP∥ON.
题型五 高考中求椭圆的离心率问题
考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
【例7】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝ ＝ ∈，故选A.
答案　A
【例8】如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， [3分]
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·. [6分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2. [8分]
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0. [10分]
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，① [12分]
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，
由e＝＝，得0所以离心率的取值范围是(0，]. [15分]
1．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案　A
解析　依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21
C．－或21 D.或－21
答案　D
解析　当9>4－k>0，即4>k>－5时，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴＝，解得k＝.
当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，故选D.
3．已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设P(x0，y0)，则×＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝ ＝ ＝，故选D.
4．已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，
所以
两式相减得＋x－x＝0，
得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
又弦AB被点P(，)平分，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
将其代入上式得＋x1－x2＝0，
得＝－9，
即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为
y－＝－9(x－)，
即9x＋y－5＝0，故选B.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
答案　D
解析　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
6.设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1)
答案　D
解析　A1(－a,0)，A2(a,0)，
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(a－x，－y)，
∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，
令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)
＝a2(a4－4a2b2＋4b4)
＝a2(a2－2b2)2≥0，
∴对称轴满足0<－∴<1，∴>.又0<<1，∴<<1，故选D.
7．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
答案　＋＝1
解析　设切点坐标为(m，n)，
则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案　7
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
9．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
答案　(－，)
解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－10．已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　∵△AOP是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．
设Q(x0，y0)，∵＝2，
∴(x0，y0－a)＝2(－a－x0，－y0)．
∴解得
代入椭圆方程化简，可得＝，
∴e＝ ＝.
11．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解　(1)由已知|AB|＝|BF|，
即＝a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
12．已知点C(x0，y0)是椭圆＋y2＝1上的动点，以C为圆心的圆过点F(1,0)．
(1)若圆C与y轴相切，求实数x0的值；
(2)若圆C与y轴相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．
解　(1)当圆C与y轴相切时，|x0|＝，
又因为点C在椭圆上，所以＋y＝1，
解得x0＝－2±2，
因为－≤x0≤，所以x0＝－2＋2.
(2)圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y，
令x＝0，y2－2y0y＋2x0－1＝0，
设A(0，y1)，B(0，y2)，则y1＋y2＝2y0，y1·y2＝2x0－1，
由Δ＝4y－4(2x0－1)>0及y＝1－x，
得－2－2又由点C在椭圆上，得－≤x0≤，
所以－≤x0<－2＋2，
|FA|·|FB|＝·＝
＝＝＝(2－x0)．
所以|FA|·|FB|∈(4－4,2＋2]．
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解　(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，
于是圆心坐标为(，)．
所以p＋q＝＋≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e<1.
(2)当e＝时，a＝b＝c，
此时椭圆的方程为＋＝1，
设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；
当0即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.
15 / 151．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1.
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
【例2】
1、椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．12
2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．9
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
题型二　椭圆的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹
【例3】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
命题点2　利用待定系数法求椭圆方程
【例4】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________．
命题点3　利用定义解决“焦点三角形”问题
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【同步练习】
1．在例5中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
2．在例5中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝3”，结果如何？
3、(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
思维升华　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
题型三　椭圆的几何性质
【例5】(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．2
(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【同步练习】　
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
思维升华　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
题型四　直线与椭圆
【例6】设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
思维升华　(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【同步练习】1、温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，且离心率等于.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON.
题型五 高考中求椭圆的离心率问题
考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
【例7】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【例8】如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
1．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21
3．已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
.
4．已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
6.设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1)
7．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
9．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
10．已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．
11．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
12．已知点C(x0，y0)是椭圆＋y2＝1上的动点，以C为圆心的圆过点F(1,0)．
(1)若圆C与y轴相切，求实数x0的值；
(2)若圆C与y轴相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
15 / 151．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
【例2】1、若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5
C. D．2
答案　A
解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　C
解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.
4．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案　(2，8)
解析　由已知a＝1，b＝，c＝2，则e＝＝2，
设P(x，y)是双曲线上任一点，
由对称性不妨设P在右支上，
则1又∠F1PF2为锐角，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，
即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，解得x>，
所以题型二　双曲线的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹方程
【例3】　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝
|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
命题点2　利用待定系数法求双曲线方程
【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
命题点3　利用定义解决焦点三角形问题
【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
答案　
解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|
＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
【变式练习】
1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由于·＝0，所以⊥，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．3
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，
要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
故选C.
(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝＝＝，
故选B.
题型三　双曲线的几何性质
【例6】(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.
由得x2＝2p ·x，
∴x＝，y＝，∴A.
设抛物线C2的焦点为F，则F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴·＝－1，∴＝.
设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.
∴e＝.
思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.
题型四　直线与双曲线的综合问题
【例7】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得由①②得思维升华　(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，
∴直线l的方程为x＝c或x＝－c.
将其代入－＝1，
求得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，
∴|AB|＝.依题意，得＝4a，
∴＝2，即e2－1＝2，∴e＝.
2、已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.
由
得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．
纠错心得　(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．
(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.
2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案　A
解析　∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－13．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为(　　)
A．16 B．20 C．21 D．26
答案　D
解析　由双曲线－＝1，知a＝4.
由双曲线定义|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝8，
∴|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋16＝21，
∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.故选D.
4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
答案　D
解析　∵＝－，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，
即2－2＝0，∴||＝||＝c，
在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.
∵||＝||，
∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，
得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，
∴||＝c，||＝c，
∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，
∴双曲线的离心率e＝＝＋1.
5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
答案　C
解析　由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB的中点为(，)，
∴()2－()2＝2 x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.
6．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　B
解析　由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.
由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.
∴e1e2＝×＝1.
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－8．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
答案　B
解析　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，
∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，
∴e∈(1,2)，故选B.
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.
答案　1　2
解析　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
10．已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案　x±y＝0
解析　如图所示，过点P作PC⊥x轴，
因为|AB|＝|BP|＝2a，
所以∠PBC＝60°，BC＝a，
yP＝|PC|＝a，点P(2a，a)，
将P(2a，a)代入－＝1，得a＝b，
所以其渐近线方程为x±y＝0.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案　
解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
12．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝－＝12.
13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，
双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
15 / 151．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
【例2】1、若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5
C. D．2
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
4．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
题型二　双曲线的定义及标准方程
命题点1　利用定义求轨迹方程
【例3】　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
命题点2　利用待定系数法求双曲线方程
【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
命题点3　利用定义解决焦点三角形问题
【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
【变式练习】
1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．3
题型三　双曲线的几何性质
【例6】(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
题型四　直线与双曲线的综合问题
【例7】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
思维升华　(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
2、已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
3．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为(　　)
A．16 B．20 C．21 D．26
4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点．若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
6．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)
A. B．1 C. D．2
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.
10．已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
12．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
15 / 151．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　)
【例2】1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
答案　D
解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，
∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案　C
解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
答案　2
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，
圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，
则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，
所以3＋＝4，解得p＝2.
题型二　抛物线的定义及应用
【例3】(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1 C. D.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案　(1)C　(2)4
解析　(1)∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝，
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【同步练习】
1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝
＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
题型三　抛物线的标准方程和几何性质
命题点1　求抛物线的标准方程
【例4】已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
答案　D
解析　∵－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
命题点2　抛物线的几何性质
【例5】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【同步练习】(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，
如图，
又可设A(x0,2)，，
点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0， ①
点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2， ②
点D在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2， ③
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，
由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.
又ab≤()2，
所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，
得到|AB|≥(a＋b)，
所以≤＝，
即的最大值为.
题型四　直线与抛物线的综合问题
命题点1　直线与抛物线的交点问题
【例6】　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.
答案　2
解析　抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题
【例7】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
(1)证明　由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．
思维升华　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【同步练习】
1、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
(1)解　由已知，得x＝4不合题意，设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，
因为点 F到直线l的距离为，
所以＝，解得k＝±，
所以直线l的斜率为±.
(2)证明　设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程
消去x得(1－)y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，因为N是AB中点，所以＝y0，
即＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
2、已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR ,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
思维点拨　(3)中证明·＝0.
规范解答
解　(1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．[3分]
(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[5分]
(3)存在，联立方程
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0 m>－.[7分]
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，
即P(，yP)，∴Q(，)．[9分]
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，
即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，[12分]
结合(*)化简得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－ (－，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[14分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.
1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　D
解析　因为抛物线的标准方程为x2＝y，
所以其焦点坐标为(0，)，则有＝1，a＝，
故选D.
2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案　C
解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，
联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)·(my2＋)＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12 p＝4，
即抛物线C的方程为y2＝8x.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
答案　B
解析　∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　　)
A. B. C．3 D．2
答案　D
解析　直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，
过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，
和抛物线的交点就是点P，
所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，
所以最小值为＝2，故选D.
5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(　　)
A. B. C. D．3
答案　D
解析　设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，
则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4，
则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，
得C(－2，－8)，联立
解得或
则B(1，－2)，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，
∴λ＝3，故选D.
6.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　抛物线C的准线为l：x＝－2，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于M，
BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，
从而点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，
从而点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)，
所以k＝＝，故选C.
7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　12
解析　焦点F的坐标为，
方法一　直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
方法二　由抛物线焦点弦的性质可得
|AB|＝＝＝12.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
答案　2
解析　如图， 由AB的斜率为，
知∠α＝60°，又＝，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，
∴|BP|＝|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
答案　6
解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
准线方程为x＝－2.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，c＝2，＝，
可得a＝4，b2＝16－4＝12.
故椭圆方程为＋＝1.
把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.
从而|AB|＝6.
10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．
答案　(2,4)
解析　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则
两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．
当k存在时，x1≠x2，
则有·＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，则有－2因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y＝r2，
故r2＝y＋4<12＋4＝16.
又y＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，
所以411．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0.
所以x1＋x2＝，由抛物线定义得
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2，y2＝4，
从而B(4,4)．设C(x3，y3)，
则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
12．抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以A(x1，y1)(x1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线E上．
(1)过Q(0，－3)作抛物线E的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线E的方程；(2)求△ABC面积的最小值．
解　(1)设过点Q(0，－3)的抛物线E的切线l：y＝kx－3，
联立抛物线E：x2＝2py(p>0)得x2－2pkx＋6p＝0，
Δ＝4p2k2－4×6p＝0，即pk2＝6.
∵点F(0，)，点F到切线l的距离d＝＝2，
化简得(p＋6)2＝16(k2＋1)，
∴(p＋6)2＝16(＋1)＝，
∵p>0，∴p＋6>0，
得p2＋6p－16＝(p＋8)(p－2)＝0，∴p＝2，
因此抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，
设直线AB：y－y1＝k(x－x1)(k>0)，B(xB，yB)，
联立抛物线方程得x2－2pkx＋2p(kx1－y1)＝0，
则x1＋xB＝2pk，
则xB＝2pk－x1，同理可得xC＝－－x1.
∵|AB|＝|AC| |xB－x1|＝|xC－x1|
k(xB－x1)＝x1－xC x1＝，
∴|AB|＝|xB－x1|＝(2pk－2x1)
＝2p.
∵≥2，＝
≥ ＝(当且仅当k＝1时等号成立)，
故|AB|≥2p，△ABC面积的最小值为8p2.
13.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－，)．
(1)求“黄金抛物线C”的方程；
(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解　(1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－，)，
∴r2＝(－)2＋()2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.
∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．
(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，
设直线l：y＝kx＋1，联立消去y，
得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝，yB＝，
即B(，)，
∴kBQ＝，
联立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，
∴xA＝－，yA＝，即A(－，)，
∴kAQ＝－，
∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，
∴－＝0，解得k＝－1±，
由图形可得k＝－1－应舍去，∴k＝－1，
∴存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.
15 / 151．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)
【例2】1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
题型二　抛物线的定义及应用
【例3】(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1 C. D.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【同步练习】
1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
题型三　抛物线的标准方程和几何性质
命题点1　求抛物线的标准方程
【例4】已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
命题点2　抛物线的几何性质
【例5】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【同步练习】(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)
A. B．1 C. D．2
题型四　直线与抛物线的综合问题
命题点1　直线与抛物线的交点问题
【例6】　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.
命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题
【例7】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
思维升华　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【同步练习】
1、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求
2、已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR ,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.
1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于(　　)
A．1 B. C．2 D.
2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　　)
A. B. C．3 D．2
5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为(　　)
A. B. C. D．3
6.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(　　)
A. B. C. D.
7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．
11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
12．抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以A(x1，y1)(x1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线E上．
(1)过Q(0，－3)作抛物线E的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线E的方程；(2)求△ABC面积的最小值．
13.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－，)．
(1)求“黄金抛物线C”的方程；
(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
15 / 15判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　×　)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　×　)
无
题型一　定义法求轨迹方程
例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－)．
思维升华　应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
　已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4)
答案　C
解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为－＝1 (x>3)．
题型二　直接法求轨迹方程
例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解　(1)依题意得，c＝，e＝＝，
因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，
故椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，
则由
得＋＝1，
即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，
Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，
整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.
又所引的两条切线相互垂直，
设两切线的斜率分别为k1，k2，
于是有k1k2＝－1，即＝－1，
即x＋y＝13(x0≠±3)．
若两切线中有一条斜率不存在，
则易得或或
或
经检验知均满足x＋y＝13.
因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.
思维升华　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
　在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
题型三　相关点法求轨迹方程
例3　如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，
且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为(－1，)，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×(2－)＋
＝－， ①
y0＝－＝－. ②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝， ③
y＝. ④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋， ⑤
y＝(x－x2)＋. ⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－. ⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
思维升华　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解　设△ABC的重心为G(x，y)，
点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即(y－)2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
典例　已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
思想方法指导　(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．
(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程．
(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．
规范解答
解　(1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x， [2分]
其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，
可得b2＝4－1＝3，故椭圆的方程为
＋＝1. [5分]
(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，
设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，
所以＋＝1，
解得y＝3－x2. [7分]
由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2，
得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．[9分]
当λ2＝，即λ＝时，得y2＝12，
点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；
当λ2<，即0<λ<时，
得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分； [12分]
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1.
此轨迹表示实轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分． [15分]
1．已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
答案　D
解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
2．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一个射线
答案　D
解析　原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
3．已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
答案　C
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，
设P(x，y)，则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．
答案　＋＝1
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).
1．设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
答案　C
解析　∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆，
故选C.
2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
答案　B
解析　∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
答案　D
解析　由题意知，M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　B
解析　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个．
5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
答案　B
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
答案　A
解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
7．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
答案　②③
解析　因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．
8．已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________________．
答案　＋＝1(x≠±5)
解析　由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1(x≠±5)．
9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
答案　＋＝1
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．
答案　＋＝1(y≠0)
解析　设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，
由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，
长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
11．已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)若m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
解　(1)设S(x，y)，则kSA＝，kSB＝.
由题意，得＝－，
即＋y2＝1(x≠±m)．
∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)m＝，则曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
由
消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个交点．
12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
解　(1)因为椭圆E的离心率为，
所以＝.
解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为
＋＝1，
则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)，
过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.
设直线l′与椭圆E的交点为A，B，
由消去y，
得3x2＋4bx＝0，解得x1＝0，x2＝－.
因为|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
解得b＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当切线l的斜率存在且不为0时，
设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，
得消去y并整理，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l和椭圆E有且只有一个交点，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.
化简并整理，得m2＝2k2＋1.
因为直线MQ与l垂直，
所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)．
联立方程组解得
所以x2＋y2＝
＝
＝
＝，
把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*)
②当切线l的斜率为0时，
此时Q(1,1)或Q(1，－1)，符合(*)式．
③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或Q(－，0)符合(*)式．
综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.
*13.如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2(其中k>0)，△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．
解　(1)连接QF，根据题意，
|QP|＝|QF|，
则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|
＝4>|EF|＝2，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，
长轴长为4的椭圆．
设其方程为＋＝1(a>b>0)，
可知a＝2，c＝＝，则b＝1，
∴点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程整理得，
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(1＋4k2－m2)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2＝k1k2＝，
整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴＋m2＝0，解得k2＝.
∵k>0，∴k＝.
此时Δ＝16(2－m2)>0，
解得m∈(－，)．
又由A，O，B三点不共线得m≠0，
从而m∈(－，0)∪(0，)．
故S＝|AB|d＝|x1－x2|·
＝·|m|
＝|m|.
又＋y＝＋y＝1，
则S1＋S2＝(x＋y＋x＋y)
＝(x＋x＋2)
＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝为定值．
∴＝×≥，
当且仅当m＝±1时等号成立．
综上，∈[，＋∞)．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　 　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　 　)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　 　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　 　)
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　 　)
无
题型一　定义法求轨迹方程
例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
　已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4)
题型二　直接法求轨迹方程
例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
　在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
题型三　相关点法求轨迹方程
例3　如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
典例　已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
1．已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
2．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一个射线
3．已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．
1．设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
7．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
8．已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________________．
9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．
11．已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)若m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
*13.如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2(其中k>0)，△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．题型一　范围问题
例1　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解　(1)由已知，有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，
解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝ ＝.
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立，
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝ ＞，
解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.
设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.
②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.
因此m＜0，于是m＝－ ，
得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
解　(1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝
＝k2 －＋m2＝0.
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)
＝16(4k2－m2＋1)>0，得0显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．
设原点O到直线的距离为d，
则S△OMN＝|MN|d
＝···|x1－x2|
＝|m|
＝.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．
题型二　最值问题
命题点1　利用三角函数有界性求最值
例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)
A．2 B. C．4 D．2
答案　C
解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2　数形结合利用几何性质求最值
例3　在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_______________________________________________________________________．
答案　
解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．
(1)解　设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a＝4,2c＝2.
所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①证明　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．
由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．
所以直线PM的斜率k＝＝.
直线QM的斜率k′＝＝－.
此时＝－3.所以为定值－3.
②解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线PA的方程为y＝kx＋m.
直线QB的方程为y＝－3kx＋m.
联立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－
＝，
y2－y1＝＋m－－m
＝，
所以kAB＝＝＝，
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以6k＋≥2，当且仅当k＝时取“＝”．
因为P(x0,2m)在椭圆＋＝1上，
所以x0＝，故此时＝，
即m＝，符合题意．
所以直线AB的斜率的最小值为.
思维升华　处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
　已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解　(1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
无
题型一　定点问题
例1　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
(1)解　设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
且有y1＋y2＝，y1y2＝， ③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
　如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
解　(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， ①
焦点F(c,0)，因为＝， ②
将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1. ③
由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.
因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，
即t2－λ2＋2＝0. ④
设圆与x轴的交点为T(x0,0)，
则＝(－－x0，y1)，＝(－x0，y2)．
因为MN为圆的直径，
故·＝x－2＋y1y2＝0. ⑤
当t＝0时，不符合题意，故t≠0.
因为y1＝，y2＝，
所以y1y2＝，代入⑤结合④得
·＝
＝，
要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)，
即椭圆的两个焦点．
题型二　定值问题
例2　椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值．
(1)解　∵椭圆的焦点在y轴上，
故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，∴a＝，
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，与题意不符；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0,
则x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
∴|CD|＝
＝·
＝＝，
解得k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)证明　当直线l的斜率不存在时，与题意不符．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0，k≠±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴点P的坐标为(－，0)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，
且直线AC的方程为y＝(x＋1)，
直线BD的方程为y＝(x－1)，
将两直线方程联立，消去y，
得＝.
∵－1()2＝
＝·
＝
＝＝()2，
y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝k2(－)＋k(－)＋1
＝－，
∵与y1y2异号，∴与同号，
∴＝，解得x＝－k，
故点Q的坐标为(－k，y0)，
·＝(－，0)·(－k，y0)＝1，
故·为定值．
思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|，
又|PQ|是点Q到直线l的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：
取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
∵点M在曲线C上，∴x0＝，
∴|TS|＝2＝2是定值．
题型三　探索性问题
例3　 如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
从而，·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－－λ－2.
所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3，
此时·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
思维升华　解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
　已知A(1,2)，B(，－1)是抛物线y2＝ax(a>0)上的两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF.
(1)求实数a的值；
(2)若直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
解　(1)把点A(1,2)代入抛物线方程得a＝4.
(2)直线EF的斜率是定值，理由如下：
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线AE：y＝k(x－1)＋2，
则直线BF：y＝－k(x－)－1，
联立方程组消去y，
得k2x2＋(4k－2k2－4)x＋(2－k)2＝0，
∴x1＝，y1＝k(x1－1)＋2＝，
∴E(，)，
联立方程组消去y，
得k2x2－(k2－2k＋4)x＋(1－k)2＝0，
∴x2＝，x2＝，y2＝－k(x2－)－1＝，
得F(，)．
故kEF＝＝－4.
典例　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．
思想方法指导　对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．
规范解答
解　(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.
由题意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.[4分]
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝ .
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.
所以＝.[8分]
因为－可得＝，
所以m＝x0，因此－(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，
则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立得
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.[12分]
由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8.[15分]
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0 直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0 直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0 直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案　C
解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
2．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A. B. C．4 D．5
答案　B
解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(2,3]
C．(1,3] D．(1,2]
答案　C
解析　由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，
所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.
又e>1，所以14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为________．
答案　6
解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
依题意得左焦点F(－1,0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，
∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
5．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
答案　5
解析　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形(图略)可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
6．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
答案　(，1)
解析　∵椭圆C1：－＝1，
∴a＝m＋2，b＝－n，c＝m＋2＋n，
e＝＝1＋.
∵双曲线C2：＋＝1，∴a＝m，b＝－n，c＝m－n，
∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，
∴e＝1－.
由m>0得m＋2>2，<，－>－，
∴1－>，即e>，而0∴7．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于A，B两点，且·＝－11.
(1)求直线AB的方程；
(2)设点C是抛物线 (不含A，B两点)上的动点，求△ABC面积的最大值．
解　(1)设直线AB为x＝my＋2(m>0)，A(，y1)，
B(，y2)，F(1,0)，
联立消x，得y2－4my－8＝0，
则
则·＝(－1，y1)·(－1，y2)＝(－1)(－1)＋y1y2＝－＋1＋y1y2
＝4－＋1－8＝－11，
得m2＝1，又因为m>0，故m＝1，
即直线AB的方程为x＝y＋2，即x－y－2＝0.
(2)设C(，y0)，联立解得y1,2＝2±2，
故2－2点C到直线AB的距离为
d＝＝，
当y0＝2时，dmax＝，此时|AB|＝×＝4，
故S△ABCmax＝|AB|dmax＝6.
8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
又a2＋b2＝c2，得b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立
整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2>3k2－1且k2≠，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝＝，
∴y0＝kx0＋m＝.
由题意，AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1，②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.
∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．
9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
解　(1)由题意，得从而
因此，所求的椭圆C1的方程为＋x2＝1.
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.
直线MN的方程为
y＝2tx－t2＋h.
将上式代入椭圆C1的方程中，
得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则x3＝＝.
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.
由题意，得x3＝x4，
即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③
由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.
当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，
则不等式②不成立，所以h≥1.
当h＝1时，代入方程③得t＝－1，
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．
所以，h的最小值为1.
1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且＝λ(λ>0)．过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：·为定值；
(2)设△ABM的面积为S，求S的最小值．
(1)证明　设直线AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线x2＝4y联立得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因此x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
由直线AM∶y＝x－，直线BM∶y＝x－得
M(，)，即M(2k，－1)，
所以·＝(2k，－2)·(x2－x1，)
＝(2k，－2)·(4，4k)＝0.
(2)解　|AB|＝4(k2＋1)，点M到直线AB的距离为d＝＝2，
所以S＝·4(k2＋1)·2＝≥4，
所以S的最小值为4.
2．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
(1)解　因为e＝，所以c＝a，a2＝b2＋(a)2.①
又椭圆过点(，)，所以＋＝1.②
由①②，解得a2＝6，b2＝4，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设直线l：y＝kx＋1，
联立
得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
易知B(0，－2)，
故kBC·kBD＝·
＝·
＝
＝k2＋＋
＝k2＋3k·－(3k2＋2)
＝－2.
所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
3．设直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.若OA⊥OB.
(1)是否存在实数t，满足k1＋k2＝t(k3＋k4)，并说明理由；
(2)求△OCD面积的最大值．
解　设直线l的方程为y＝kx＋b，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
联立得x2－2kx－2b＝0，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b，Δ1＝4k2＋8b>0.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，得b＝2.
联立得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝，
由Δ2＝192k2－48>0得k2>.
(1)存在实数t.因为k1＋k2＝＋＝k，k3＋k4＝＋
＝－6k，
所以＝－，即t＝－.
(2)根据弦长公式|CD|＝|x3－x4|得
|CD|＝4··，
根据点O到直线CD的距离公式得d＝，
所以S△OCD＝|CD|·d＝4·，
设＝t>0，则S△OCD＝≤，
所以当t＝2，即k＝±时，S△OCD有最大值.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线＋＝1(1(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．
解　(1)∵1设焦点F(±c,0)，则c2＝4－v＋v－1＝3，
由椭圆C与双曲线共焦点，知a2－b2＝3，
设直线l的方程为x＝ty＋a，
代入y2＝2x，可得y2－2ty－2a＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a，
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝a2－2a＝0，
∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)在△MON中，
S△OMN＝·|OM|·|ON|·sin∠MON
＝sin∠MON.
当∠MON＝90°时，sin∠MON有最大值，
此时点O到直线l的距离为d＝＝，
∴m2＋n2＝2.又∵m2＋4n2＝4，
联立解得m2＝，n2＝，
此时点R的坐标为或，△MON的面积为.
*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 －2 4
y －2 0 4
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，
则有＝2p(x≠0)，
据此验证四个点知(3，－2)，(4,4)在C2上，
易求得C2的标准方程为y2＝4x.
设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，
把点(－2,0)，(，)代入得
解得所以C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
于是x1＋x2＝， ①
x1x2＝. ②
所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)
＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝k2[－＋1]
＝－， ③
由⊥，即·＝0，
得x1x2＋y1y2＝0.(*)
将②③代入(*)式，得－
＝＝0，
解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，
且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.题型一　范围问题
例1　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
题型二　最值问题
命题点1　利用三角函数有界性求最值
例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)
A．2 B. C．4 D．2
命题点2　数形结合利用几何性质求最值
例3　在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为__________．
命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．
　已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
无
题型一　定点问题
例1　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
　如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
题型二　定值问题
例2　椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值．
　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
题型三　探索性问题
例3　 如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
　已知A(1,2)，B(，－1)是抛物线y2＝ax(a>0)上的两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF.
(1)求实数a的值；
(2)若直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
典例　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0 直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0 直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0 直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
2．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A. B. C．4 D．5
3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(2,3]
C．(1,3] D．(1,2]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为________．
5．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
6．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
7．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于A，B两点，且·＝－11.
(1)求直线AB的方程；
(2)设点C是抛物线 (不含A，B两点)上的动点，求△ABC面积的最大值．
8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且＝λ(λ>0)．过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：·为定值；
(2)设△ABM的面积为S，求S的最小值．
2．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
3．设直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.若OA⊥OB.
(1)是否存在实数t，满足k1＋k2＝t(k3＋k4)，并说明理由；
(2)求△OCD面积的最大值．
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线＋＝1(1(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．
*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 －2 4
y －2 0 4
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　×　)
(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　×　)
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　√　)
(4)直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切．(　√　)
(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　×　)
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(　√　)
无
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
思维升华　(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
　在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
解　(1)由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点．
题型二　弦长问题
例2　已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：(1)解　设M(x1，y1)，则由题意知y1>0，由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)证明　将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，即4k3－6k2＋3k－8＝0，
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以思维升华　有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
　设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
题型三　中点弦问题
命题点1　利用中点弦确定直线或曲线方程
例3　(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
答案　(1)D　(2)x＋2y－8＝0
解析　(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
命题点2　由中点弦解决对称问题
例4　已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－②
由①②得m＜－或m＞.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·.
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
答案　0或－8
解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，
∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，∴P，
代入抛物线方程得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合.
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0 直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0 直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0 直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
1．在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是(　　)
答案　D
解析　将方程a2x2＋b2y2＝1变形为＋＝1，
∵a>b>0，∴<，
∴椭圆焦点在y轴上．
将方程ax＋by2＝0变形为y2＝－x，
∵a>b>0，∴－<0，
∴抛物线焦点在x轴负半轴上，开口向左．
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
答案　C
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
4．已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
答案　4
解析　由题意可设直线l的方程为y＝m，
代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，
所以x1＝＝2，
x2＝－2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝4，
所以|AB|＝4≥4，
即当m＝0时，|AB|有最小值4.
1．斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案　B
解析　要使直线与双曲线恒有两个公共点，
则渐近线的斜率的绝对值应大于，
所以||>，∴e＝ >2，
即e∈(2，＋∞)，故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于(　　)
A．5 B．6 C．3 D．7
答案　D
解析　把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，
由消去y，得x2－5x＋4＝0，
则xA＋xB＝5.由抛物线定义得
|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　C
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
4．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案　A
解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点，故选A.
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D.
答案　D
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，
由方程组消去y，
得x2－x＋1＝0有唯一解，
所以Δ＝()2－4＝0，＝2，
e＝＝＝ ＝ .
6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
答案　D
解析　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.
设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，
则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.
∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.
∴A，B到直线x＝－2的距离之和为x1＋x2＋2＋2≥6>5.
∴满足题意的直线不存在．
7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
答案　6
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
又|AF|＋|BF|≥|AB| |AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.
8．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
答案　3x＋4y－13＝0
解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A，B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为________．
答案　＋＝1
解析　因为△AF1F2为等腰直角三角形，
所以b＝c，a＝c，
设|BF2|＝x，则由椭圆的定义可知|BF1|＝2c－x，
在△BF1F2中，由余弦定理可知(2c－x)2＝x2＋4c2－2x·2c·cos，
解得x＝，
所以＝＋＝×2c×c＋×2c×c×sin＝6，
解得c2＝，所以b2＝，a2＝9，
则椭圆的方程为＋＝1.
10．已知双曲线C：x2－＝1，直线y＝－2x＋m与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为________．
答案　(1,7＋4)
解析　由可得x2－4mx＋m2＋3＝0，
由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，
设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，则得m>1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1得x1＝2m－，x2＝2m＋，
所以＝＝
＝－1＋，
由m>1得，的取值范围为(1,7＋4)．
11．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
解　(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋)2＝6，
圆心C(2，－)，半径r＝.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则
∴所求的椭圆方程是＋＝1.
(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F1(－2,0)，
F2(2,0)，|F2C|＝＝<.
∴F2在C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
点C(2，－)到直线l的距离d＝，
由d＝，得＝.
解得k＝或k＝－，
故l的方程为x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
(1)解　由题意得＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
*13.已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
解　(1)设点M(x，y)，∵＝，
∴P为QM的中点，又PQ⊥y轴，∴P(，y)．
∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，
∴()2＋y2＝1，
即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线l不与y轴垂直，
故可设l：x＝ty＋m，t∈R，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴＝1，即m2＝t2＋1. ①
联立消去x，
得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0.
其中Δ＝(2mt)2－4(t2＋4)(m2－4)
＝16(t2－m2)＋64＝48>0.
∴y1＋y2＝－，y1y2＝. ②
∴|AB|＝
＝
＝.
将①②代入上式得
|AB|＝
＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1
＝×
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立．
∴(S△AOB)max＝1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　 　)
(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　 　)
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　 　)
(4)直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切．(　 　)
(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　 　)
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(　 　)
无
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
　在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
题型二　弦长问题
例2　已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：　设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
题型三　中点弦问题
命题点1　利用中点弦确定直线或曲线方程
例3　(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
命题点2　由中点弦解决对称问题
例4　已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0 直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0 直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0 直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
1．在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是(　　)
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
4．已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
1．斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于(　　)
A．5 B．6 C．3 D．7
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
4．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
8．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为________．
10．已知双曲线C：x2－＝1，直线y＝－2x＋m与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为________．
11．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
*13.已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

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