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11.1随机事件的概率-教师版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的．(　×　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　×　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　)
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)
(6)两互斥事件的概率和为1.(　×　)
题型一　事件关系的判断
例1　(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
答案　(1)C　(2)A　(3)A
解析　(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
思维升华　(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
(2)判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
　从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④恰有1个白球与都是黄球．
其中互斥而不对立的事件共有(　　)
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
答案　B
解析　①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.
题型二　随机事件的频率与概率
例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
思维升华　(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(2)随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
　某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
题型三　互斥事件、对立事件的概率
命题点1　互斥事件的概率
例3　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？
解　方法一　从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有
P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
方法二　设红球有n个，则＝，所以n＝4，即红球有4个．
又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个．
又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．
又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．
所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是
＝，＝，＝.
命题点2　对立事件的概率
例4　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
思维升华　求复杂事件的概率的两种方法
求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，
所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D＋E＋F，
所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，
则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝ )，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A)＋P(B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
典例　某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
思想方法指导　若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．
规范解答
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.[2分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．[7分]
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[10分]
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[12分]
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[15分]
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.
2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
答案　B
解析　抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(　　)
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
答案　A
解析　依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.
4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
答案　②
解析　①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为(　　)
A．① B．② C．③ D．④
答案　B
解析　至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．
∴②中两事件是对立事件．
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5
答案　C
解析　∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，
∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
答案　A
解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.
5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为(　　)
A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3
答案　C
解析　由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，
又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.
6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
答案　A
解析　取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
答案　③　②　①
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．
答案　(，]
解析　由题意可知 ， 9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________．
答案　
解析　个位数字共有5种情况，只有当个位数字取2,4,5时，得到的数才能被2或5整除，所以概率为.
10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
答案　0.2
解析　记事件A，B，C分别是摸出红球，白球和黑球，则A，B，C互为互斥事件且P(A＋B)＝0.58，P(A＋C)＝0.62，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝0.42，P(B)＝1－P(A＋C)＝0.38，P(A)＝1－P(C)－P(B)＝1－0.38－0.42＝0.2.
11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员射击一次：
(1)射中9环或10环的概率；
(2)命中不足8环的概率．
解　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则表示事件“射击一次，命中不足8环”．
又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得
P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)
＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
故P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.
*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解　方法一　(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
方法二　(利用对立事件求概率)
(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.11.1随机事件的概率-学生版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的．(　 　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　 　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　 　)
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　 　)
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　 　)
(6)两互斥事件的概率和为1. ( 　)
题型一　事件关系的判断
例1　(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
　从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④恰有1个白球与都是黄球．
其中互斥而不对立的事件共有(　　)
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
题型二　随机事件的频率与概率
例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
　某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
题型三　互斥事件、对立事件的概率
命题点1　互斥事件的概率
例3　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？
命题点2　对立事件的概率
例4　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝ )，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A)＋P(B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
典例　某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(　　)
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为(　　)
A．① B．② C．③ D．④
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5
4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为(　　)
A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3
6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．
9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________．
10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员射击一次：
(1)射中9环或10环的概率；
(2)命中不足8环的概率．
*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．11.2古典概率-教师版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)
(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　√　)
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　√　)
题型一　基本事件与古典概型的判断
例1　有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．
解　(1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．
　下列试验中，古典概型的个数为(　　)
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，
所以不是古典概型；
②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；
③符合古典概型的特点，是古典概型．
题型二　古典概型的求法
例2　(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A. B. C. D．1
(2)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．
答案　(1)B　(2)　(3)
解析　(1)从袋中任取2个球共有C＝105(种)取法，其中恰好1个白球，1个红球共有CC＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球，1个红球的概率为＝.
(2)基本事件共有C＝6(种)，
设取出两只球颜色不同为事件A，
A包含的基本事件有CC＋CC＝5(种)．
故P(A)＝.
(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A＝120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有CC＝10(种)可能，所以事件A出现的概率为＝.
引申探究
1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．
解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，
所以P(A)＝＝.
2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．
解　基本事件数为CC＝16，
颜色相同的事件数为CC＋CC＝6，
所求概率为＝.
思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
　(1)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.
(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　①由题意知，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
典例　一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n(1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
↓
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)
↓
{1,2}，{1,3}
↓利用古典概型概率公式求解
P＝＝
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
↓
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)
n↓(将复杂问题转化为简单问题)
计算n≥m＋2的概率
↓
n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)
↓
P1＝
↓(注意细节，P1＝是n≥m＋2的概率需转化为其对立事件的概率)
n规范解答
解　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个．
因此所求事件的概率P＝＝. [5分]
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． [8分]
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝. [12分]
故满足条件n1－P1＝1－＝. [14分]
1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有C＝10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为P＝.
4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
答案　
解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.
2．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意知，向量m共有CC＝12(个)，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，
则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2个，
故所求概率P＝＝.
3．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
答案　B
解析　从5件产品中任取2件共有取法C＝10(种)，恰有一件次品的取法有CC＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为＝0.6.
4．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知f′(x)＝3x2＋a>0，
所以f(x)在R上递增，若f(x)在[1,2]上有零点，
则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，
故所求概率为.
5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C＝210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的．设事件A为“取出球的编号互不相同”，则事件A包含了C·C·C·C·C＝80(个)基本事件，所以P(A)＝＝.故选D.
6．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.
7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，
从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案　0.3
解析　因为A、B为互斥事件，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
答案　7
解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．
10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
答案　
解析　从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.
11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，
所以事件a⊥b发生的概率为＝.
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为＝.
*12.一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
解　(1)余下两种坐法如下表所示：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是，所有可能的坐法共8种，
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.
13．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次即终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
解　(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.
由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，
则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．
(2)设事件A为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，
P(A)＝＝＝.
(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.11.2古典概率-学生版
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　 　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　 　)
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　 　)
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　 　)
(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　 　)
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　 　)
题型一　基本事件与古典概型的判断
例1　有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．
　下列试验中，古典概型的个数为(　　)
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二　古典概型的求法
例2　(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A. B. C. D．1
(2)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．
引申探究
1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．
2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．
　(1)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B. C. D.
(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
典例　一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A. B. C. D.
3．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
4．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为(　　)
A. B. C. D.
6．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)
A. B. C. D.
8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
9．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率．
*12一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
13．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次即终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)
(3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)
(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　×　)
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)
无
题型一　离散型随机变量分布列的性质
例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q等于(　　)
A．1 B.±
(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0(2)∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，
∴a[＋()2＋()3]＝1，
解得a＝.故选D.
思维升华　(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
　已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2A. B. C. D.
答案　B
解析　由分布列的性质知，
＋＋＋＝1，
则a＝5，
∴P(2题型二　离散型随机变量分布列的求法
例2　连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．
解　(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.
A1，A2，A3为互斥事件，则
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C()3＋C··C··C·＋C()2·＝.
(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝()2＋2×C××＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.
故ξ的分布列为
ξ 6 4 2 0
P
思维升华　求离散型随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
　袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
答案　
解析　P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.
题型三　离散型随机变量的均值与方差
例3　在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；且每题正确回答与否互不影响．写出甲考生正确回答题数的分布列，并计算其均值和方差．
解　(1)甲正确回答的题目数ξ可取1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故其分布列为
ξ 1 2 3
P
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
D(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝.
思维升华　求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
　某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为(　　)
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
答案　A
解析　由题意得X＝0,1,2，则
P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
典例　某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
错解展示
现场纠错
解　P(ξ＝1)＝0.9，
P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，
P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，
P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9，
P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.
∴ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1
纠错心得　(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．
(2)验证随机变量的概率和是否为1.
1．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
答案　C
解析　根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
答案　C
解析　设X的分布列为
X 0 1
P p 2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C.
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)
A．8 B．5
C．10 D．12
答案　A
解析　E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
4．随机变量ξ的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
ξ -1 0 1
P a b c
答案　
解析　由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，由期望公式可得，(－1)×a＋0×b＋1×c＝，由等差数列知，a＝c＝2b，综上，解得a＝，b＝，c＝.代入方差计算公式即可得结果．
1．某射手射击所得环数X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
答案　C
解析　根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于(　　)
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
答案　C
解析　由题意知
即解得q＝1－.
3．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
4．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
答案　D
解析　由超几何分布知P(X＝2)＝.
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为(　　)
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
答案　C
解析　X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
X 3 2 1 0
P 0.6 0.24 0.096 0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2.
且P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
答案　－1,0,1,2,3
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，
X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，
X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，
X＝2，甲抢到2题均答对，
X＝3，甲抢到3题均答对．
8．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
答案　0.5
解析　由分布列的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
9．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.
答案　
解析　P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)
＝＋＋＝.
10．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)＝________.
答案　
解析　两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，
A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为，
A中仅有一封信的投法种数是C×2＝4，概率为，
A中有两封信的投法种数是1，概率为，
故A邮箱的信件数ξ的均值
E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.
11．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________，________.
答案　20　
解析　记此人三次射击击中目标次数为X，得分为Y，
则X～B(3，)，Y＝10X，
∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，
D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.
12．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是________．
答案　
解析　根据题意知X＝0,1,2，
而P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
*13.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值．
解　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，
则事件A发生的概率P(A)＝＝.
依题意≥，化简得n2－25n＋144≤0，
∴9≤n≤16，故n的最大值为16.
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，
则P(ξ ＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　 　)
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　 　)
(3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　 　)
(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　 　)
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　 　)
无
题型一　离散型随机变量分布列的性质
例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q等于________．
(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为(　　)
A．1 B. C. D.
　已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2A. B. C. D.
题型二　离散型随机变量分布列的求法
例2　连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．
　袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
题型三　离散型随机变量的均值与方差
例3　在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；且每题正确回答与否互不影响．写出甲考生正确回答题数的分布列，并计算其均值和方差．
　某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为(　　)
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
典例　某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
1．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)
A．8 B．5
C．10 D．12
答案　A
4．随机变量ξ的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
ξ -1 0 1
P a b c
1．某射手射击所得环数X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于(　　)
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
3．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为(　　)
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(　　)
A. B.
C. D.
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
8．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
9．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.
10．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)＝________.
11．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________，________.
12．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是________．
*13.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．(　√　)
(2)相互独立事件就是互斥事件．(　×　)
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)
无
题型一　相互独立事件的概率
例1　为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：
乘坐里程x(单位：km) 0票价(单位：元) 3 4 5
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．
解　由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
P1＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.
思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
　甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设Ai (i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜；B事件表示甲队获得冠军，则B＝A1＋A2，
∴P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝.
题型二　独立重复试验
例2　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
解　设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)＝××＝，
P(B)＝C2××＝，
P(C)＝C2×2×＝.
思维升华　在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
　投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
答案　A
解析　所求概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.
题型三　二项分布的均值、方差
例3　某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)由题意，得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝C×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故随机变量ξ的均值
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或∵ξ～B(3，)，∴E(ξ)＝3×＝.)
思维升华　在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率，列出分布列．
　某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
答案　B
解析　记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1)，
∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，
∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
1．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
2．二项分布
(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．
(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
典例　(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．
错解展示
解析　　(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，由A、B是相互独立事件，得所求概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×＋×＋×＝＝.
(2)所求概率P＝C×()3×()2＝.
答案　(1)　(2)
现场纠错
解析　(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.
∵A、B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)
＋P(12A3A4A5)
＝3×2＋×3×＋2×3＝.
答案　(1)　(2)
纠错心得　(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”．
(2)区分独立事件与n次独立重复试验.
1．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　所求概率P＝C·()1·(1－)3－1＝.
3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案　
解析　记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，
“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P( )＝1－＝.
4．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．
答案　
解析　抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)＝10×＝.
1．一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设此射手未命中目标的概率为p，则1－p4＝，
所以p＝，故1－p＝.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案　C
解析　P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同时发生的概率，即事件A，B至多有一个发生的概率．
3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.
故目标被击中的概率P＝1－P( )＝.
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)
A．C()10()2 B．C()9()2
C．C()9()2 D．C()10()2
答案　D
解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，
因此P(X＝12)＝C()9()2＝C()10()2.
5．设随机变量X服从二项分布X～B(5，)，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B(5，)，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.
6．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为(　　)
A．4,0.6 B．6,0.4
C．8,0.3 D．24,0.1
答案　B
解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.
7．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．
答案　
解析　灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路．设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由独立事件概率公式知P(AC)＝P(A)P()P(C)＝××＝.
8．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.
答案　
解析　∵X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，
解得p＝.又Y～B(3，p)，
∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
9．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
答案　
解析　设事件A发生的概率为p，由题意知(1－p)3＝1－＝，解得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××()2＝.
10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案　
解析　用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P( )＝P()·P()·P()＝××＝.故至少有一人去北京旅游的概率为1－＝.
11．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
答案　
解析　由题意可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝，
∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～B，
则E(X)＝2×＝.
12．某同学手里有三个球，依次投向编号为①②③的三个盒子，每次投一个球．假定该同学将球投进①号盒子的概率为，投进②号和③号盒子的概率均为p(0答案　　
解析　由P(ξ＝0)＝(1－)(1－p)(1－p)＝，013．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．
解　(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，
由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
因为利润＝产量×市场价格－成本．
所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
故X的分布列为
X 4 000 2 000 800
P 0.3 0.5 0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为
P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)
＝3×0.82×(1－0.8)＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．(　 　)
(2)相互独立事件就是互斥事件．(　 　)
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　 　)
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　 　)
无
题型一　相互独立事件的概率
例1　为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：
乘坐里程x(单位：km) 0票价(单位：元) 3 4 5
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．
　甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B.
C. D.
题型二　独立重复试验
例2　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
　投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
题型三　二项分布的均值、方差
例3　某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
　某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
1．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
2．二项分布
(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．
(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
典例　(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．
1．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
4．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．
1．一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为(　　)
A. B. C. D.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)
A．C()10()2 B．C()9()2
C．C()9()2 D．C()10()2
5．设随机变量X服从二项分布X～B(5，)，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)
A. B. C. D.
6．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为(　　)
A．4,0.6 B．6,0.4
C．8,0.3 D．24,0.1
7．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．
8．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.
9．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
11．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
12．某同学手里有三个球，依次投向编号为①②③的三个盒子，每次投一个球．假定该同学将球投进①号盒子的概率为，投进②号和③号盒子的概率均为p(013．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．

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