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1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增 f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝x3－ax2＋4，若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
答案　D
解析　由题意知f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
当a≤0时，不符合题意．
当a>0时，f(x)在(0，)上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，
所以由题意知f()<0，解得a>3，
故选D.
3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
答案　1－ln 2
解析　y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．
y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，
∴
解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
4．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，
不等式≤恒成立，所以≥.
因为g(x)＝，
所以g′(x)＝e2－x(1－x)．
当00；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e.
又f(x)＝e2x＋≥2e(x>0)．
当且仅当e2x＝，即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.
所以＝＝，应有≥，
又k>0，所以k≥1.
无
题型一　利用导数研究函数性质
例1　已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
思维升华　利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．
　已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－所以函数f(x)的单调递增区间是(－，)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．
因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex
＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．
因为ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，
即a≥＝
＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．
令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0.
所以y＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增，
所以y<(1＋1)－＝，即a≥.
因此a的取值范围为a≥.
题型二　利用导数研究方程的根或函数的零点问题
例2　设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
(1)解　函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－kln x(k>0)，得f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ ↗
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)证明　由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
思维升华　函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
　已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
(1)解　f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，
g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，
即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
题型三　利用导数研究不等式问题
例3　已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
(1)解　对任意x∈(0，＋∞)，有
2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4.
因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
(2)证明　问题等价于证明
xln x>－(x∈(0，＋∞))．
f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到．
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
思维升华　求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．
　已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是____________．
答案　[－，－]
解析　问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
显然，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(2)＝，
g(x)min＝g(4)＝－；
对于f(x)，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下：
x －1 (－1，) (，1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) a－4 ↗ ＋a ↘ a ↗ a＋2
∴f(x)max＝a＋2，f(x)min＝a－4，
∴∴a∈[－，－].
1．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．
2．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．
解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，
即4ex－y－3e＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当0在区间(，t＋2]上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f()＝－.
3．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解　由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，
所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 1 ↗
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，
f(0)＝1使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，
所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，
那么b的取值范围是(1，＋∞)．
4．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
解　(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.
则s′(x)＝ex－1－1.而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又由s(1)＝0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(1)有f0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又因为h(1)＝0，
所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，
即f(x)>g(x)恒成立．综上，a∈.
5．已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－x，其中a为非零实数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)有两个极值点x1，x2，且x1(1)解　f′(x)＝＋x－1＝，x>－1，
当a－1≥0，即a≥1时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
当0x1＝－>－1，x2＝，
∴f(x)在区间(－1，－)上单调递增，在(－，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
当a<0时，∵x1<－1，
∴f(x)在(－1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)证明　∵0∴x1＋x2＝0，x1x2＝a－1且x2∈(0,1)，
< < f(x2)＋x2>0
aln(x2＋1)＋x－x2>0
(1－x)ln(x2＋1)＋x－x2>0
－(x2－1)(1＋x2)ln(x2＋1)＋x2(x2－1)>0
(1＋x2)ln(x2＋1)－x2>0，
令g(x)＝(1＋x)ln(x＋1)－x，x∈(0,1)，
∵g′(x)＝ln(x＋1)＋>0，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，∴g(x)>g(0)＝0.
故原命题得证．1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x3－ax2＋4，若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
4．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
无
题型一　利用导数研究函数性质
例1　已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
　已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
题型二　利用导数研究方程的根或函数的零点问题
例2　设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
　已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
题型三　利用导数研究不等式问题
例3　已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
　已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是____________．
1．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
2．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．
3．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
4．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
5．已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－x，其中a为非零实数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)有两个极值点x1，x2，且x1A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
答案　B
解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　B
解析　由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°故sin C＝，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，
将tan B＝3tan A代入，得＝－2，
∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，
则A＝45°，故选B.
3．已知△ABC中，·＝·，|＋|＝2，且B∈，则·的取值范围是____________．
答案　
解析　因为·＝·，
所以·(－)＝(－)·(＋)＝0，
即2＝2，可得AB＝BC.
由|＋|＝2，可得2＋2·＋2＝4，
设AB＝BC＝a，则有2a2＋2a2cos B＝4 a2＝.
因为B∈，可得cos B∈，
所以·＝a2cos B＝
＝2－∈，故答案为.
4．已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为________．
答案　[，2)
解析　如图，画出y＝sin在[0，π]上的图象，当直线y＝与其有两个交点时，∈，所以m∈[，2)．
无
题型一　三角函数的图象和性质
例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为
[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
　已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，
所以函数的周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．
题型二　解三角形
例2　在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解　(1)由cos B＝，0得sin B＝＝，
又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，
即＝ AB＝5.
(2)由(1)得sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，
则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－，则cos＝cos Acos＋sin Asin＝.
思维升华　根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．
　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
解　(1)由tan＝2，得tan A＝.
所以＝＝.
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，
得sin A＝，cos A＝.
又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.
由sin C＝sin(A＋B)＝sin得sin C＝，
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
题型三　三角函数和平面向量的综合应用
例3　已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．
解　(1)因为a∥b，
所以cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝－.
cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b
＝2(sin x＋cos x，－)·(cos x，－1)
＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
由正弦定理＝，得
sin A＝＝＝，
所以A＝或A＝.
因为b＞a，所以A＝.
所以f(x)＋4cos＝sin－，
因为x∈，所以2x＋∈，
所以－1≤f(x)＋4cos≤－.
所以f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围是.
思维升华　(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解　(1)由·＝2，得c·acos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝
＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
解　(1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin
＝A＝，∴A＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，
故f(θ)＋f(－θ)
＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，
∴cos θ＝，∴cos θ＝.
又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
2．设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．
得到y＝2sin＋－1的图象．
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
3．已知△ABC的面积为2，且满足0<·≤4，设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ的值域．
解　(1)设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由已知bcsin θ＝2,0可得tan θ≥1，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[，)．
(2)f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ
＝1－cos(＋2θ)－cos 2θ
＝(1＋sin 2θ)－cos 2θ＝2sin(2θ－)＋1，
∵θ∈[，)，∴2θ－∈[，)．
∴2≤2sin(2θ－)＋1≤3.
∴函数f(θ)的值域是[2,3]．
4．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0＜φ＜，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1＜x0＜2，
故＜πx0＋＜，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos
＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos －sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c.
(1)求的值；
(2)求tan(A－B)的最大值．
解　(1)在△ABC中，
由正弦定理及acos B－bcos A＝c，
可得sin Acos B－cos Asin B＝sin C
＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B＝4cos Asin B，所以＝4.
(2)由(1)得tan A＝4tan B>0，
所以tan(A－B)＝
＝＝≤，
当且仅当＝4tan B，即tan B＝时，等号成立，
故当tan A＝2，tan B＝时，tan(A－B)取最大值.
6．已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若解　(1)由题意，知f(x)＝a·b
＝(ksin ，cos2)·(cos ，－k)
＝ksin cos －kcos2
＝ksin －k·
＝(sin －cos )－
＝(sin －cos )－
＝sin(－)－.
因为x∈R，
所以f(x)的最大值为＝，则k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(－)－，
所以f(A)＝sin(－)－＝0，
化简得sin(－)＝，
因为则－＝，解得A＝.
因为cos A＝－＝＝，
所以b2＋c2＋bc＝40，
则b2＋c2＋bc＝40≥2bc＋bc，
所以bc≤＝20(2－)．
则·＝||||cos ＝－bc≥20(1－)，
所以·的最小值为20(1－)．1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
3．已知△ABC中，·＝·，|＋|＝2，且B∈，则·的取值范围是____________．
4．已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为________．
无
题型一　三角函数的图象和性质
例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
　已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
题型二　解三角形
例2　在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
题型三　三角函数和平面向量的综合应用
例3　已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．
　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
2．设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
3．已知△ABC的面积为2，且满足0<·≤4，设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ的值域．
4．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c.
(1)求的值；
(2)求tan(A－B)的最大值．
6．已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　设公差为d，则2＋d＝1＋2d，
∴d＝1，∴an＝n，
由a＝a1·ak，得4＝1×k，∴k＝4.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.
3．已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________.
答案　2　
解析　由a2a4a6＝64，得a＝64，解得a4＝4.
由2a3，a5,3a4成等差数列，得2a4q＝3a4＋，
即8q＝12＋，解得q＝2或q＝－(舍去)．
又a1q3＝4，所以a1＝，所以Sn＝＝.
4．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.
答案　－
解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
无
题型一　等差数列、等比数列的综合问题
例1　已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.
解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1，
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.
由e2＝＝2，解得q＝，
所以e＋e＋…＋e
＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋＝n＋(3n－1)．
思维升华　等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1
＝(－1)n－1·.
(2)由(1)，得Sn＝1－n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，
故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.
题型二　数列的通项与求和
例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
又cn＝an－1，
∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)解　由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，
∴an＝cn＋1＝1－()n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1
＝1－()n－[1－()n－1]
＝()n－1－()n＝()n.
又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝()n.
思维升华　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等．
　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.
(1)证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.
(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，
当n∈N*时，≠0.
又＝，∶＝(n∈N*)为常数，
∴{}是以为首项，为公比的等比数列．
(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，
得＝·()n－1，∴an＝n·()n.
∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，
Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，
∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1
＝－n·()n＋1，
∴Sn＝2－()n－1－n·()n
＝2－(n＋2)·()n.
综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.
题型三　数列与其他知识的交汇
命题点1　数列与函数的交汇
例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n,16n2a－4nb＝0，
∴a＝，则f(x)＝x2＋2nx，n∈N*.
数列{an}满足＝f′，
又f′(x)＝x＋2n，
∴＝＋2n，∴－＝2n，
由叠加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，
化简可得an＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝4也符合，
∴an＝(n∈N*)．
(2)∵bn＝＝＝2，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋
＝2＝2＝.
命题点2　数列与不等式的交汇
例4　对任意正整数n，设an是方程x2＋＝1的正根．
求证：(1)an＋1>an；
(2)＋＋…＋<1＋＋＋…＋.
证明　由a＋＝1且an>0，得0(1)a＋＝1，a＋＝1，
两式相减得
0＝a－a＋－因为an＋1＋an＋>0，
故an＋1－an>0，即an＋1>an.
(2)因为an(an＋)＝1，所以＝an＋，
由0从而当i≥2时，(－1)<(1＋－1)＝<－，
(－1)＝－1＋ (－1)<－1＋ (－)＝－<.
所以＋＋…＋<1＋＋＋…＋.
思维升华　数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略
(1)数列与函数的交汇问题
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．
(2)数列与不等式的交汇问题
①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；
③比较方法：作差或者作商比较．
(3)数列应用题
①根据题意，确定数列模型；
②准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
　已知f(x)＝ln x－x＋1，x为正实数，g(x)＝mx－1(m>0)．
(1)判断函数y＝f(x)的单调性，给出你的结论；
(2)若数列{an}的各项均为正数，a1＝1，在m＝2时，an＋1＝f(an)＋g(an)＋2 (n∈N*)，求证：an≤2n－1.
(1)解　求导，得f′(x)＝－1＝，
由f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
所以函数y＝f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
(2)证明　由题意，正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ln an＋an＋2，
由(1)知f(x)＝ln x－x＋1≤f(1)＝0，
即有不等式ln x≤x－1(x>0)．
下面用数学归纳法证明an≤2n－1 (*)成立．
①当n＝1时，a1＝1≤21－1，(*)式成立．
②假设当n＝k时，ak≤2k－1成立，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝ln ak＋ak＋2≤ak－1＋ak＋2
＝2ak＋1≤2(2k－1)＋1＝2k＋1－1.
所以当n＝k＋1时，(*)式也成立．
由①②可知，an≤2n－1成立.
1．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由得
∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1
＝2(1＋2＋…＋n)－n＋
＝2×－n＋＝n2＋.
即数列{cn}的前n项和为n2＋.
2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意有解得
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为
1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
3．已知数列{an}的各项都大于1，且a1＝2，a－an＋1－a＋1＝0(n∈N*)．
(1)求证：≤an(2)求证：＋＋＋…＋<1.
证明　(1)由a－a＝an＋1－1>0，得an＋1>an，
∵an＋1－an＝<1，
∴an＋1＝(an＋1－an)＋…＋(a2－a1)＋a1an＋1－an＝>＝－>，
∴an＝(an－an－1)＋…＋(a2－a1)＋a1>＋2
＝(n≥2)，
又a1＝2＝，∴an≥.
(2)∵a－a＝an＋1－1≥－1＝，
∴a>＋a＝，
即a≥，
2a－3≥＝，
＋＋…＋≤4(－＋－＋…)<1.
4．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
解　(1)∵点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，
∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减，得bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝()n－1.
(2)log2bn＋1＝log2()n＝－n，
∴cn＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
5．已知fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且fn(－1)＝(－1)n·n，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．
(1)解　由f1(－1)＝－a1＝－1，得a1＝1，
由f2(－1)＝－a1＋a2＝2，得a2＝3，
又f3(－1)＝－a1＋a2－a3＝－3，所以a3＝5.
(2)解　由题意得fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n，
fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n－1an－1
＝(－1)n－1·(n－1)，n≥2，
两式相减，得(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)，
当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝1符合，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(3)证明　令bn＝＝n，
则S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
∴2S＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)．(*)
当x>0，y>0时，x＋y≥2，＋≥2，
∴(x＋y)(＋)≥4，
∴＋≥，当且仅当x＝y时等号成立．
上述(*)式中，k>7，n>0，n＋1，n＋2，…，nk－1全为正，
∴2S>＋＋＋…＋＝，
∴S>>＝2(1－)>2(1－)＝.1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________.
4．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.
无
题型一　等差数列、等比数列的综合问题
例1　已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.
　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
题型二　数列的通项与求和
例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.
(1)证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.
题型三　数列与其他知识的交汇
命题点1　数列与函数的交汇
例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
命题点2　数列与不等式的交汇
例4　对任意正整数n，设an是方程x2＋＝1的正根．
求证：(1)an＋1>an；
(2)＋＋…＋<1＋＋＋…＋.
　已知f(x)＝ln x－x＋1，x为正实数，g(x)＝mx－1(m>0)．
(1)判断函数y＝f(x)的单调性，给出你的结论；
(2)若数列{an}的各项均为正数，a1＝1，在m＝2时，an＋1＝f(an)＋g(an)＋2 (n∈N*)，求证：an≤2n－1.
1．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
3．已知数列{an}的各项都大于1，且a1＝2，a－an＋1－a＋1＝0(n∈N*)．
(1)求证：≤an(2)求证：＋＋＋…＋<1.
4．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
5．已知fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且fn(－1)＝(－1)n·n，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.>0
答案　B
解析　A项：当c<0时，不等式a＋c≥b－c不一定成立；C项：c＝0时，ac＝bc；D项：c＝0时，＝0；B项：a>b a－b>0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.
2．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　　)
A．{x|－1≤x≤－1} B．{x|x≤1}
C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1}
答案　C
解析　由题意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于
①或
②
解不等式组①得x<－1；
解不等式组②得－1≤x≤－1.
故原不等式的解集是{x|x≤－1}，选C.
3．若实数x，y满足则|x|＋|y|的取值范围是________．
答案　[0,2]
解析　|x|＋|y|表示可行域内一点到x，y轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可行域可知在(0,0)处取得最小值0，在(1，－1)处取得最大值2，所以|x|＋|y|∈[0,2]．
4．若关于x的方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，则实数a的取值范围为________．
答案　[－，]
解析　由方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a－2|＋|a＋1|)≥0，整理得|a－2|＋|a＋1|≤4.
∵|a－2|＋|a＋1|代表数轴上的点a到2和－1两点的距离和，易知|a－2|＋|a＋1|≤4的取值范围为[－，].
无
题型一　含参数不等式的解法
例1　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R)．
解　原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0 (ax－2)(x＋1)≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0 x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0 x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即a>－2，解得≤x≤－1.
综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
思维升华　解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
　(1)若00的解集是______．
(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
答案　(1)(a，)　(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析　(1)原不等式即为(x－a)(x－)<0，
由0∴a(2)依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
题型二　线性规划问题
例2　实数x，y满足不等式组 则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
答案　21
解析　方法一　作出不等式组表示的平面区域．如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝·，则几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，显然，点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
方法二　由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.
思维升华　对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题．
　(1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4
C. D．2
(2)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．
答案　(1)B　(2)30 000
解析　(1) 画出满足约束条件的可行域如图所示，
可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2a＋b－2＝0的距离，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.
(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z＝10 000x＋5 000y，约束条件为
画出可行域如图所示，由图可知，
在D(2,2)处z有最大值，且zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．
题型三　基本不等式的应用
例3　(1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是(　　)
A．3 B．2
C．4 D．5
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则(－2)·c＋的最小值为______．
答案　(1)A　(2)4＋2
解析　(1)设扇形的半径为r，其弧长为l，
由题意可得S＝lr＝9，故lr＝18.
扇形的周长C＝2r＋l≥2＝2＝12，
当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号．
(2)∵＝＝
＝＋＋2≥2 ＋2
＝2＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴(－2)·c＋≥2c＋
＝2(c－1)＋＋2
≥2 ＋2＝4＋2，
当且仅当2(c－1)＝，即c＝1＋时，等号成立．
综上，所求最小值为4＋2.
思维升华　(1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义．
　(1)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．9 D．16
(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．
答案　(1)D　(2)10
解析　(1)由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2 (当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为
k＝
＝＋20x＋380≥2 ＋380＝780，当且仅当＝20x，
即x＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．
题型四　绝对值不等式
例4　设不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.
(1)解　① x∈ ；
② －1≤x≤1；
③ x∈ ，
综上所述，不等式的解集即集合M为[－1,1]．
(2)证明　|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|
≤1＋2×＋3×＝，
∴|x＋2y－3z|≤.
思维升华　(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．
(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值．
　(1)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正常数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案　(1)(－m，m)　(2)(－∞，3]
解析　(1)由|－x－5|＋|－x＋3|＋|－x－3|＋|－x＋5|＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|可知，函数f(x)为偶函数，当－3≤x≤3，得f(x)的最小值为16－c.结合题意可得c≥16.由f(m)＝0得f(x)(2)当x∈(－∞，－1]时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；当x∈(－1,2)时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；当x∈[2，＋∞)时，|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，综上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.
1．解关于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m<0.
解　原不等式可化为(x－2)(x－m)<0.
①当m>2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为
{x|2②当m<2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为
{x|m③当m＝2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为 .
综上所述：当m>2时，不等式的解集为{x|2当m<2时，不等式的解集为{x|m当m＝2时，不等式的解集为 .
2．已知函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)≥f(4)的解集；
(2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．
解　(1)f(x)＝＋＝＋＝|x－3|＋|x＋4|，
∵f(x)≥f(4)，即|x－3|＋|x＋4|≥9，
∴或或
解得x≤－5或x≥4，
∴f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}．
(2)f(x)>g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，
又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝
g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图，其中kPB＝2，A(－4,7)，
∴kPA＝－1，
由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，则需－13．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨)
A 1 1 50
B 4 0 160
C 2 5 200
如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？
解　设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标函数为z＝300x＋200y，约束条件为
欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40,0)，B(40,10)，C(，)，D(0,40)．
作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40,10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14 000.
所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，最大利润为14 000元．
4．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝时等号成立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
5．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
解　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，
当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2,2a]．
(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以，由F(x)的定义知m(a)＝min，
即m(a)＝
②当0≤x≤2时，F(x)≤f(x)≤max＝2＝F(2)．
当2当a≥4时，34－8a≤2；
当3≤a<4时，34－8a>2，
所以M(a)＝1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.>0
2．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　　)
A．{x|－1≤x≤－1} B．{x|x≤1}
C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1}
3．若实数x，y满足则|x|＋|y|的取值范围是________．
4．若关于x的方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，则实数a的取值范围为________．
无
题型一　含参数不等式的解法
例1　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R)．
　(1)若00的解集是______．
(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
题型二　线性规划问题
例2　实数x，y满足不等式组 则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
　(1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4
C. D．2
(2)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．
题型三　基本不等式的应用
例3　(1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是(　　)
A．3 B．2
C．4 D．5
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则(－2)·c＋的最小值为______．
　(1)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．9 D．16
(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．
题型四　绝对值不等式
例4　设不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.
　(1)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正常数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________．
1．解关于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m<0.
2．已知函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)≥f(4)的解集；
(2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．
3．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨)
A 1 1 50
B 4 0 160
C 2 5 200
如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？
4．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
5．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．1．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　D
解析　由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体，该三棱柱的体积为×2×2×2＝4，三棱锥的体积为××2×2×1＝，所以该几何体的体积为4－＝，故选D.
2．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直相交 D．不确定
答案　B
解析　如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，
则EF∥A1B1，DF∥B1B，
∴平面EFD∥平面A1B1BA，
∴DE∥平面A1B1BA.
3．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a γ.如果命题“α∩β＝a，b γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)
答案　①或③
解析　由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
答案　
解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，
则令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
设CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
无
题型一　求空间几何体的表面积与体积
例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．
(1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)解　由EF∥AC得＝＝.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
又由＝得EF＝.
五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.
思维升华　(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．
(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，
则正棱锥侧面的斜高为＝.
∴S侧＝3××2×＝9.
∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2
＝9＋6.
(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC
＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r
＝(3＋2)r.
又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.
题型二　空间点、线、面的位置关系
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
因为AB 平面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明　方法一　如图1，取AB中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG 平面ABE，C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
方法二　如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.
因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，
又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，
所以EC1綊AH，
所以四边形EAHC1为平行四边形，
所以C1H∥AE，
又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，
所以平面ABE∥平面C1HF，
又C1F 平面C1HF，
所以C1F∥平面ABE.
(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E－ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
思维升华　(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．②证明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化．(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化．
　如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明　(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点，
则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，
因此平面EFG∥平面ABC.
(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF 平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，
又SA 平面SAB，因此BC⊥SA.
题型三　空间角的计算
例3　如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．
(1)求证：CD⊥BE；
(2)求线段BH的长度；
(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．
(1)证明　∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，
又CD⊥DE，BH∩DE＝H，
∴CD⊥平面DBE，∴CD⊥BE.
(2)解　方法一　设BH＝h，EH＝k，过F作FG垂直ED于点G，
∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得

解得
∴线段BH的长度为2.
方法二　如图，过点E作ER∥DC，过点E作ES⊥平面EFCD，
分别以直线ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点B(0，y，z)(y>0，z>0)，
由于F(2,2,0)，BE＝，BF＝3，
∴解得于是B(0,1,2)，
∴线段BH的长度为2.
(3)解　方法一　延长BA交EF于点M，
∵AE∶BF＝MA∶MB＝1∶3，
∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，
∴点A到平面EFCD的距离为，而AF＝，
故直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为.
方法二　由(2)方法二知＝(－2，－1,2)，
故＝＝(－，－，)，
＝＋＝(－，－，)，
设平面EFCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，
则sin θ＝＝.
　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°.
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明　∵BC＝BD，取CD的中点E，连接BE，
∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，且CD＝2AB，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE∥AD，且BE＝AD，AB⊥AD，
又∵AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
又∵CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)解　以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°，
∴PA＝＝＝2，
AD＝BE＝＝＝2，
BC＝＝＝，
则P(0，－1，)，D(0,2,0)，B(，0,0)，C(2，2,0)，
＝(0,3，－)，＝(－，－1，)，
＝(，2,0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝，得n＝(，－1，)，
设直线PD与平面PBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝
＝＝，
∴直线CD与平面PBC所成角的正弦值为.
1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.
(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D；
(2)证明：GH∥平面ACD1.
证明　(1)∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1.
又AC⊥B1D，BB1∩B1D＝B1，
∴AC⊥平面BB1D.
∵AC 平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BB1D.
(2)设AC∩BD＝O，连接OD1.
∵E，F分别为AD，CD的中点，
EF∩OD＝G，
∴G为OD的中点．
∵H为DD1的中点，∴HG∥OD1.
∵GH 平面ACD1，OD1 平面ACD1，
∴GH∥平面ACD1.
2．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD.
(1)证明：AC∥平面BEF；
(2)求三棱锥D－BEF的体积．
(1)证明　如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME.
由题设知，CE綊DF，MO綊DF，
∴CE綊MO，故四边形OCEM为平行四边形，
∴EM∥CO，即EM∥AC.
又AC 平面BEF，EM 平面BEF，
∴AC∥平面BEF.
(2)解　∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD＝DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面DEF.
∴三棱锥D－BEF的体积为VD－BEF＝VB－DEF＝S△DEF·BC＝××2×2×2＝.
3．如图，在多面体EF－ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD.
(1)求证：DF⊥平面ABCD；
(2)若BC＝CD＝CE＝AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．
(1)证明　由四边形DCEF为平行四边形，知EF∥CD，所以EF∥平面ABCD.
又平面ABEF∩平面ABCD＝AB，从而有AB∥CD∥EF.
因为∠ABE＝∠ABC＝90°，所以AB⊥BE，AB⊥BC，
又因为BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCE，
因为CE 平面BCE，所以AB⊥CE.
又四边形DCEF为平行四边形，有DF∥CE，
所以DC⊥DF，
又因为平面DCEF⊥平面ABCD，
平面DCEF∩平面ABCD＝DC，
所以DF⊥平面ABCD.
(2)解　不妨设BC＝1，则BC＝CD＝CE＝1，AB＝2，
四边形ABCD为直角梯形，连接BD，
则有BD＝AD＝，
则BD⊥AD，
由DF⊥平面ABCD，知DF⊥BD，
因为DF∩AD＝D，所以BD⊥平面FAD，
则∠BFD即为直线BF与平面ADF所成角，
在△BFD中，DF⊥BD，BD＝，DF＝1，
则BF＝，
所以sin∠BFD＝＝＝，
所以直线BF与平面ADF所成角的正弦值为.
4．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
(1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，
所以AF⊥平面EFDC，
又AF 平面ABEF，
故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解　过D作DG⊥EF，垂足为G，
由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．
由已知，AB∥EF，AB 平面EFDC，EF 平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，
故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°，
从而可得C(－2,0，)．
所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则
即所以可取n＝(3,0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)，
则cos〈n，m〉＝＝－.
故二面角E-BC-A的余弦值为－.
5．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC＝2AD＝2AB＝2.
(1)证明：BD⊥平面DEC；
(2)若二面角A－ED－B的大小为30°，求EC的长度．
(1)证明　因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥EC.
又因为EC⊥BC，AB∩BC＝B，所以EC⊥平面ABCD.
因为BD 平面ABCD，所以EC⊥BD.
由题意可知，在梯形ABCD中，有BD＝DC＝，
所以BD2＋DC2＝BC2，所以BD⊥DC.
又EC∩CD＝C，所以BD⊥平面DEC.
(2)解　如图，以点B为坐标原点，以BA所在直线为z轴，BC所在直线为y轴，以过点B且平行于CE的直线为x轴，建立空间直角坐标系．
设||＝a>0，则B(0,0,0)，E(a,2,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，D(0,1,1)．
设平面AED的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得平面AED的一个法向量为m＝(1,0，a)，
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，得平面BED的一个法向量为n＝(2，－a，a)．
又二面角A－ED－B的大小为30°，
所以cos 30°＝||＝＝，
得a＝1，所以EC＝1.1．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)
A. B．2 C. D.
2．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直相交 D．不确定
3．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a γ.如果命题“α∩β＝a，b γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)
4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
无
题型一　求空间几何体的表面积与体积
例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．
　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
题型二　空间点、线、面的位置关系
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
　如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
题型三　空间角的计算
例3　如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．
(1)求证：CD⊥BE；
(2)求线段BH的长度；
(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．
　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°.
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.
(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D；
(2)证明：GH∥平面ACD1.
2．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD.
(1)证明：AC∥平面BEF；
(2)求三棱锥D－BEF的体积．
3．如图，在多面体EF－ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD.
(1)求证：DF⊥平面ABCD；
(2)若BC＝CD＝CE＝AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．
4．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
5．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC＝2AD＝2AB＝2.
(1)证明：BD⊥平面DEC；
(2)若二面角A－ED－B的大小为30°，求EC的长度．1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　D
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，选D.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，
因此直线AB的方程为y＝(x－)，
即4x－4y－3＝0.
方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二　联立方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋
＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.
3．已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，
将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，
则|CD|＝|x1－x2|＝.
又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，
所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|
＝(d1＋d2)·|CD|＝··
＝ab·.
令t＝，
则t2＝＝1＋2ab·
＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，
当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，
所以S四边形ACBD的最大值为ab.
由条件，有ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案　2
解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．
∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
无
题型一　求圆锥曲线的标准方程
例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由e＝，得＝.①
又△AF1B的周长为4，
由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，
代入①，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案　D
解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝，②
联立①②解得b＝，a＝1，
所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.
题型二　圆锥曲线的几何性质
例2　(1)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
答案　(1)D　(2)
解析　(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴F，
|AB|＝|AF|＝p，
可得A(p，p)．
易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，
故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×
＝p2＝3，
∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.
思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．
答案　－1
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.
当x＝时，代入抛物线方程得y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.
所以|PE|＝ ＝p，
|PF|＝p，|EF|＝p.
故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.
题型三　最值、范围问题
例3　若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．
解　(1)由题意，可得c＝2，＝，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得a＝，b＝1.故双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为
y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，
所以x1＋x2＝，
Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0 0且1－3k2≠0 k2≠.
设MN的中点为Q(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝，
故直线m的方程为y－＝－，
即y＝－x＋.
所以直线m在y轴上的截距为，
由0得1－3k2∈(－1,0)∪(0,1)，
所以∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
故直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
思维升华　圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．
　直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
答案　
解析　由得3x2＝2，
∴x＝±，设点A在第一象限，
∴A(，)，B(－，－)，∴|AB|＝.
设与l平行的直线l′：y＝x＋m与椭圆相切于P点．
则△ABP面积最大．
由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－2)＝0，
∴m＝±.∴P到AB的距离即为l与l′的距离，
∴d＝.∴S△ABC＝××＝.
题型四　定值、定点问题
例4　设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，
所以|PQ|＝2 ＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12 .
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
思维升华　求定点及定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值．
题型五　探索性问题
例5　已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解　(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)，
∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，
化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中记f(x)＝(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2，其中若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0.
当Δ＝0时，解得k2＝，即k＝±，此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0，
解得x＝∈，∴k＝±满足条件．
当Δ>0时，
①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0 k＝0 另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；
②若x＝是方程的解，则f＝0 k＝± 另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一根，满足题意；
③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0 －综上所述，k的取值范围是－≤k≤或k＝±.
思维升华　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)．若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
解　(1)由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，
即a2＝b2，又＋＝1，
∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)△AOB的面积为定值．理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(，)，Q(，)，
∵以PQ为直径的圆经过坐标原点，
∴·＝0，即＋＝0.
由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，
得3＋4k2－m2>0.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
代入＋＝0，即y1y2＝－x1x2，得
＝－·，即2m2－4k2＝3，
∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·，由点O到直线AB的距离公式得d＝，
∴S△AOB＝|AB|d＝··＝，
把2m2－4k2＝3代入上式，得S△AOB＝.
1．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
(1)解　由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
2．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上，下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P(，)在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＋＝2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围．
解　(1)∵点P(，)，∴kOP＝，
又∵AF⊥OP，－×＝－1，∴c＝b，∴a2＝4b2.
又点P(，)在椭圆上，
∴＋＝＋＝＝1，
解得a2＝4，b2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时d＝1.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠±1)，
联立椭圆方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
由Δ>0 4k2－m2＋1>0，①
由＋＝2 x1＋x2＝2x1x2 ＝2，
即km＝1－m2 k＝－m(m≠0)，②
把②式代入①式得m2>或0椭圆右顶点D(2,0)到直线l的距离
d＝＝＝
＝＝，
令m2－1＝t∈(－1,0)∪(，＋∞)，
则d＝＝∈[0,1)∪(1,2)，
综上可知d∈[0,2)．
3．已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线C过A(，)，B(，)两点，O为坐标原点．
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．
(1)解　由题可得解得m＝4，n＝1.
所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.
(2)证明　由题得y＋4x＝1，y＋4x＝1，x1x2＋y1y2＝0，
原点O到直线MN的距离
d＝＝
＝
＝
＝ .
由x1x2＋y1y2＝0，得
xx＝yy＝(1－4x)(1－4x)
＝1－4(x＋x)＋16xx，
所以xx＝(x＋x)－，
d＝
＝ ＝，
所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．
4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，
从而椭圆的半焦距c＝＝1.
所以椭圆的离心率为e＝＝.
(2)依题意，直线BC的斜率不为0，
设其方程为x＝ty＋1.
将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，
从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．
假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，
则有·＝0.
所以(p－4)2＋＝0.
将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得
(p－4)2＋＝0，
所以(p－4)2＋＝0，
即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.
所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，
使得MP⊥NP.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
(1)若λ＝，求椭圆C的离心率；
(2)若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．
解　(1)因为A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，
所以A，B的坐标分别为(－，0)，(0，a)，
由　得
所以点M的坐标是(－c，)，
由＝λ，得(－c＋，)＝λ(，a)．
即解得λ＝1－e2，因为λ＝，所以e＝.
(2)因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，
要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，
即|PF1|＝c.设点F1到l的距离为d，
由|PF1|＝d＝＝＝c，得
＝e，
所以e2＝，于是λ＝1－e2＝.
即当λ＝时，△PF1F2为等腰三角形．1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
3．已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
无
题型一　求圆锥曲线的标准方程
例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
题型二　圆锥曲线的几何性质
例2　(1)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．
题型三　最值、范围问题
例3　若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．
　直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
题型四　定值、定点问题
例4　设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
题型五　探索性问题
例5　已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)．若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
1．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
2．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上，下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P(，)在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＋＝2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围．
3．已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线C过A(，)，B(，)两点，O为坐标原点．
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．
4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
(1)若λ＝，求椭圆C的离心率；
(2)若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．

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