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(共54张PPT)
第六章　平面向量及其应用　6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
课标要求
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义.
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算.
引入
课时精练
一、向量加法的定义及三角形法则
二、向量加法的平行四边形法则
三、向量加法的运算律及应用
课堂达标
内容索引
四、向量加法的实际应用
向量加法的定义及三角形法则
一
探究1 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
1.向量加法的定义
(1)定义：求____________的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
知识梳理
两个向量和
温馨提示
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
例1
√
(2)(链接教材P10T3)如图所示，
①a＋b＝________；
②c＋d＝________；
③a＋b＋d＝________；
④c＋d＋e＝________.
c
f　
f
g
思维升华
训练1
√
向量加法的平行四边形法则
二
探究2 如图，作AD綉BC，
(3)相等.
知识梳理
温馨提示
应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”,向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
例2
(链接教材P8例1)(1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
(2)法一　(三角形法则)如图④所示，
法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，
再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，
思维升华
向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
训练2
√
向量加法的运算律及应用
三
探究3 请结合课本第8页例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？
提示　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
探究4 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
图②
图①
知识梳理
1.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是__________的非零向量时等号成立.
2.向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
方向相同
例3
(链接教材P22习题T4(2))设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
思维升华
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
训练3
1
向量加法的实际应用
四
例4
(链接教材P9例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
若例4条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km
迁移1
则经过3小时，该船的实际航程是
迁移2
若例4的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
则tan ∠BAC＝2，即为所求.
思维升华
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
训练4
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
如图所示，
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
【课堂达标】
√
根据平面向量的加法运算，得
A.1 B.2 C.3 D.0
√
∵a＋b＝0，
∴a，b互为相反向量，
又b＋c＝0，
∴b，c互为相反向量，故a＝c，故①正确；
若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，－a＝0，故③正确.
√
等腰直角三角形
以AB，AC为邻边作?ABDC(如图).
又AB＝AC＝1，且BD＝AC，
∴AB＝BD＝1，
从而△ABD为等腰直角三角形.
因此?ABDC为正方形，
故△ABC为等腰直角三角形.
【课时精练】
√
√
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
如图，
√
√
√
|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.
由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立.
5.若非零不共线向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则
A.|2a|>|2a＋b| B.|2a|<|2a＋b|
C.|2b|>|a＋2b| D.|2b|<|a＋2b|
6.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
0
20
则由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，
所以|ν0|＝20 km/h，
即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
1
以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
所以∠AOC＝30°.
√
A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部
如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，
0
14.设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________.
3
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心、半径为1的圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，6.2.1　向量的加法运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分.
一、基础巩固
1.＋＋＋＋等于(　　)
2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量
a＋b表示(　　)
向东北方向航行2 km
向北偏东30°方向航行2 km
向北偏东60°方向航行2 km
向东北方向航行(1＋)km
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)
4.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)
2 4 2 6
5.若非零不共线向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　 )
|2a|>|2a＋b| |2a|<|2a＋b| |2b|>|a＋2b| |2b|<|a＋2b|
6.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)＋＝________；
(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
7.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
8.在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝______.
9.(13分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
10.(15分)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的大小和方向.
二、综合运用
11.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　)
P在△ABC的内部
P在△ABC的边AB上
P在AB边所在的直线上
P在△ABC的外部
12.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
13.(17分)如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
三、创新拓展
14.设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________.
向量的加法运算
1.C　[＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.]
2.B　[如图，易知tan α＝，
所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°，
且|a＋b|＝2(km).]
3.B　[＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.]
4.B　[因为＋＝，
所以＋＋＝，
所以向量＋＋的长度为4.]
5.C　[|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.
由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立.]
6.(1)　(2)　(3)0
7.20　[如图，设船在静水中的速度的大小为|ν1|＝10 km/h，河水的流速的大小为|ν2|＝10 km/h，小船实际航行速度为ν0，
则由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，
得(10)2＋102＝|ν0|2，所以|ν0|＝20 km/h，
即小船实际航行速度的大小为20 km/h.]
8.1　　[易知|＋|＝||＝1，
以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
则|＋|＝||＝2||·sin 60°＝2×1×＝.]
9.解　(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
10.解　如图，用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度.
以，为邻边作平行四边形OACB，则就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中，||＝4，
||＝||＝，
所以||＝
＝＝，
所以tan∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方向成30°角向东.
11.D　[＋＝，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外.]
12.0　[如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.]
13.证明　＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因为与大小相等，方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
14.3　[在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心、半径为1的圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.]6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
课标要求　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义.
【引入】 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算.
一、向量加法的定义及三角形法则
探究1 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.向量加法的定义
(1)定义：求____________的运算，叫做向量的加法.
(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
2.三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________.
温馨提示　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
例1 (1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　)
A. B. C. D.0
(2)(链接教材P10T3)如图所示，
①a＋b＝________；
②c＋d＝________；
③a＋b＋d＝________；
④c＋d＋e＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋…＋＝.
训练1 点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　)
A. B. C. D.0
二、向量加法的平行四边形法则
探究2 如图，作AD綉BC，
(1)四边形ABCD的形状如何？
(2)向量与是什么关系？
(3)由向量加法的三角形法则可知，＋＝，则＋与相等吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的________.
温馨提示　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
例2 (链接教材P8例1)(1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
训练2 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
A. B. C. D.
三、向量加法的运算律及应用
探究3 请结合课本第8页例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是________的非零向量时等号成立.
2.向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
例3 (链接教材P22习题T4(2))设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
训练3 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋|＝________.
四、向量加法的实际应用
例4 (链接教材P9例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移1 若例4条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移2 若例4的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
训练4 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.化简＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
2.下列三个结论：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
3.如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A.0 B. C. D.
4.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是________.
向量的加法运算
探究1　提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和.
知识梳理
1.两个向量和
2.
例1　(1)A　[＋＋＝＋＝.]
(2)①c　②f　③f　④g
训练1　A　[＋＋＝＋＝.]
探究2　提示　(1)平行四边形.
(2)＝.
(3)相等.
知识梳理
和
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
(2)法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求.
法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
训练2　C　[以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，
由和的模相等，方向相同，
得＝，即＋＝.]
探究3　提示　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
探究4　提示　在如图①所示的平行四边形ABCD中，＝＝a，＝＝b，则在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律.
　　
　　　图①　　　　　 　　图②
如图②所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝(a＋b)＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋(b＋c)，从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律.
知识梳理
1.方向相同
例3　解　(1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋
＝＋＋＋
＝.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝0.
训练3　1　[|＋＋|＝|＋＋|＝||＝1.]
例4　解　作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝
v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，
从而船与水流方向成120°的角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
迁移1　解　由例4解图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是
3×＝(km).
迁移2　解　如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，
||＝|v水|＝10 m/min，
则tan ∠BAC＝2，即为所求.
训练4　解　如图所示，
设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N).
∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
课堂达标
1.C　[根据平面向量的加法运算，得
＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.]
2.B　[∵a＋b＝0，∴a，b互为相反向量，
又b＋c＝0，
∴b，c互为相反向量，故a＝c，故①正确；
当＝时，应有||＝||，且由点A到点B与由点C到点D的方向相同，但不一定有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；
若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，－a＝0，故③正确.]
3.D　[由于＝，
故＋＋＝＋＋＝.]
4.等腰直角三角形　[以AB，AC为邻边作 ABDC(如图).
则|＋|＝||＝.
又AB＝AC＝1，且BD＝AC，
∴AB＝BD＝1，
从而△ABD为等腰直角三角形.
因此 ABDC为正方形，
故△ABC为等腰直角三角形.]

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