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第六章　6.2　平面向量的运算　6.2.4　向量的数量积
第一课时　向量的数量积(一)
课标要求
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积.
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
引入
课时精练
一、向量的夹角
二、向量的数量积
三、投影向量
课堂达标
内容索引
向量的夹角
一
探究1 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？
提示　θ是向量F与向量s的夹角.
知识梳理
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
2.当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______.
同向
反向
垂直
温馨提示
例1
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
即a＋b与a的夹角是30°，
a－b与a的夹角是60°.
1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
思维升华
训练1
√
A.30° B.60° C.120° D.150°
向量的数量积
二
探究2 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α这个公式有什么特点？请完成下列填空：
(1)W(功)是________量；
(2)F(力)是________量；
(3)s(位移)是________量；
(4)α是________量.
提示　(1)数　(2)向　(3)向　(4)数
知识梳理
1. 向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________.
规定：零向量与任一向量的数量积为____.
2.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝_________.
②a⊥b?a·b＝____.
|a||b|cos θ
0
|a|cos θ
0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
温馨提示
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
例2
(链接教材P17例9)已知正三角形ABC的边长为1，求：
思维升华
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
训练2
√
设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|＝|b|＝1，
投影向量
三
探究3 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|.
提示　|OD|＝|OA|cos θ.
知识梳理
投影
投影
温馨提示
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
例3
例3 (链接教材P20练习T3)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
思维升华
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
训练3
1
已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.
已知向量a，b的夹角θ＝60°，
故b在a上的投影向量的模为
【课堂达标】
√
√
2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C.若a⊥b，则a·b＝0
√
a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；
向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；
由数量积的性质知，C正确；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
3.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________.
4.已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
e
【课时精练】
√
1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝
√
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
所以四边形ABCD是矩形.
√
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为
由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J).
√
设a与b的夹角为θ，
√
5.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是
A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a＋b)＝λa＋λb
D.|a·b|≤|a||b|
√
√
选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误，其余都正确.
6.若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，则a与b夹角的余弦值为________.
7.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________.
设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，
9.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝3×2·cos 120°＝－3.
(2)a在b上的投影向量为
10.如图，已知△ABC是等边三角形.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵∠DBC＝120°，
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
√
11.(多选)下列说法正确的是
√
对于A，根据投影向量的定义，知A正确；
对于D，|a·b|＝||a||b|cos θ|，故D错误.
12.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于
A.8 B.－8 C.8或－8 D.6
√
14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，6.2.4　 向量的数量积(一)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　)
－3 －6 6 2
2.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
直角梯形 菱形 矩形 正方形
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)
100 J 50 J 50 J 200 J
4.已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
3 2
5.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　)
若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
|a·b|＝|a||b|
λ(a＋b)＝λa＋λb
|a·b|≤|a||b|
6.若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，则a与b夹角的余弦值为________.
7.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________.
8.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于________.
9.(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
10.(10分)如图，已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角.
二、综合运用
11.(多选)下列说法正确的是(　　)
向量a在向量b上的投影向量可表示为·
若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
|a·b|＝|a||b|cos θ
12.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
8 －8 8或－8 6
13.(13分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
三、创新拓展
14.(15分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围.
向量的数量积(一)
1.B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.]
2.C　[由·＝0，知AB⊥BC.
由＝，知BC綉AD，
所以四边形ABCD是矩形.]
3.B　[由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J).]
4.B　[设a与b的夹角为θ，
∵|a|·cos θ＝b，
∴|a|·cos θ＝，
∴|a|·cos θ＝，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.]
5.ACD　[选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误，其余都正确.]
6.　[cos θ＝＝＝.]
7.b　[设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，
∴|a|cos θ＝，＝，
即a在b上的投影向量为b.]
8.－　[a·b＝·＝－·
＝－||·||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
9.解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝3×2·cos 120°＝－3.
(2)a在b上的投影向量为
|a|cos θe＝e＝－e.
10.解　
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，
则＝，
∴∠DBC为向量与的夹角.
∵∠DBC＝120°，
∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴向量与的夹角为90°.
11.AB　[对于A，根据投影向量的定义，知A正确；
对于B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；
对于C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；
对于D，|a·b|＝||a||b|cos θ|，故D错误.]
12.A　[cos θ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，
∴|a×b|＝2×5×＝8.]
13.解　(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以||＝2.
又因为＝3，所以||＝，
所以||＝＝，
cos ∠OPB＝.
所以与的夹角θ的余弦值为－，
所以·＝||||cos θ＝－3.
14.解　(1)由已知可得＝，
四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)
＝－－.
(2)设＝k，
则＝－＝(k－1)－，
＝－＝－－k，
·＝[(k－1)－]·(－－k)＝，
∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，
∴·∈.6.2.4　向量的数量积
第一课时　向量的数量积(一)
课标要求　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积.
【引入】 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
一、向量的夹角
探究1 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则______________________叫做向量a与b的夹角.
2.当θ＝0时，a与b________；当θ＝π时，a与b________.
如果a与b的夹角是，我们说a与b________，记作a⊥b.
温馨提示　(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
训练1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
二、向量的数量积
探究2 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α这个公式有什么特点？请完成下列填空：
(1)W(功)是________量；
(2)F(力)是________量；
(3)s(位移)是________量；
(4)α是________量.
【知识梳理】
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________________.
规定：零向量与任一向量的数量积为____.
2.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝________.
②a⊥b a·b＝____.
③当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________，特别地，a·a＝________或|a|＝.
④|a·b|____|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立).
⑤cos θ＝.
温馨提示　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
例2 (链接教材P17例9)已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
训练2 (1)在等腰Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
(2)(链接教材P18例10)已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、投影向量
探究3 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b________，叫做向量a在向量b上的________向量.
2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.
温馨提示　(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
例3 (链接教材P20练习T3)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
　训练3 已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.
【课堂达标】
1.已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　)
A.3 B.－3 C.－3 D.3
2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C.若a⊥b，则a·b＝0
D.|a|＝
3.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________.
4.已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
向量的数量积(一)
探究1　提示　θ是向量F与向量s的夹角.
知识梳理
1.∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
2.同向　反向　垂直
例1　解　如图所示，
作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
训练1　C　[如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.]
探究2　提示　(1)数　(2)向　(3)向　(4)数
知识梳理
1.|a||b|cos θ　0
2.①|a|cos θ　②0　③|a||b|　－|a||b|　|a|2
④≤
例2　解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
训练2　(1)B　(2)　
[(1)·＝||||cos ∠ABC
＝2×·cos 45°＝2.
(2)设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|＝|b|＝1，
则cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，
∴θ＝.]
探究3　提示　|OD|＝|OA|cos θ.
知识梳理
1.投影　投影
例3　解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝e＝－e＝－e.
训练3　1　[已知向量a，b的夹角θ＝60°，
故b在a上的投影向量的模为
|b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1.]
课堂达标
1.B　[由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.]
2.CD　[a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；
向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；
由数量积的性质知，C正确；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确.]
3.　[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
4.e　[因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e.]

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