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章末复习提升
第六章　平面向量及其应用
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向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
一、平面向量的线性运算
例1
√
√
A.2 B.－2 C.1 D.－1
训练1
√
即点D在BC的延长线上，且C为BD的中点，
所以λ＝－1，μ＝2，则λ＋μ＝1.
1.数量积的三种运算
(1)已知向量的模和夹角，则
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
二、向量的数量积运算
2.向量的夹角和模的性质
例2
(1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，
所以由(a－λb)⊥b可得，
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(1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
训练2
由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
(2)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，则a与b夹角为________.
因为|a－b|＝|a|，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2，
设a与b夹角为θ，
则|b|2＝2a·b＝2|a||b|cos θ，
|b|＝2|a|cos θ，①
因为|b|＝2|a|cos θ>0，所以cos θ>0.
又因为a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
则a2＝a·b，则|a|2＝|a||b|cos θ，
所以|a|＝|b|cos θ，②
三、正弦定理、余弦定理及应用
例3
(1)求A的大小；
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
因为D在边BC上，且CD＝2DB，
训练3
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号).
(1)求A的大小；
又0又B∈(0，π)，sin B≠0，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
可得bc＝3，
四、正、余弦定理的实际应用
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
例4
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC
∴CD＝30(n mile).
答：救援船到达D点需要1 h.
训练4
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.
如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知
＝AC×sin∠ACB
在Rt△AEG中，
∵AE＝AGtan∠AGE，章末复习提升
　　
一、平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
例1 (1)设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
(2)如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. B. C.2 D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (1)在△ABC中，＝－2，且＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.2 B.－2 C.1 D.－1
(2)如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝________(用，表示).
二、向量的数量积运算
1.数量积的三种运算
(1)已知向量的模和夹角，则
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
2.向量的夹角和模的性质
(1)设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两非零向量夹角θ的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝＝.
(3)若a，b为非零向量，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例2 (1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
(2)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，则a与b夹角为________.
三、正弦定理、余弦定理及应用
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形；已知三角形的两边及其夹角或三边，可用余弦定理解此三角形.
2.边角互化的常用方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.
例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sin C－cos C.
(1)求A的大小；
(2)若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求线段AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 在①b(1＋cos A)＝asin B，②bcos＝asin B，③asin C＝ccos(A－)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答.
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号).
(1)求A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、正、余弦定理的实际应用
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
例4 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末复习提升
例1　(1)B　[如图，因为＝，＝2，
所以＝，＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)＝－.]
(2)A　[设＝λ，
因为＝，所以＝，
则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝(1－λ)＋λ，
又因为＝m＋，
所以
解得λ＝，m＝.]
训练1　(1)C　[因为＝－2，则＝2，
即点D在BC的延长线上，且C为BD的中点，
则＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2，
所以λ＝－1，μ＝2，则λ＋μ＝1.]
(2)＋　[由题可知，点M是△ABC的边BC的中点，＝2，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
例2　(1)　[因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，
所以由(a－λb)⊥b可得，
3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.]
(2)9　[因为＝＋＝＋，
＝－＝－，
所以·＝(4＋3)×(4－3)＝(162－92)＝×(16×62－9×42)＝9.]
训练2　(1)－　[由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.]
(2)　[因为|a－b|＝|a|，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2，
设a与b夹角为θ，
则|b|2＝2a·b＝2|a||b|cos θ，
|b|＝2|a|cos θ，①
因为|b|＝2|a|cos θ>0，所以cos θ>0.
又因为a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
则a2＝a·b，则|a|2＝|a||b|cos θ，
所以|a|＝|b|cos θ，②
①代入②得|a|＝|b|cos θ＝2|a|cos2θ，cos2θ＝，
因为cos θ>0，所以cos θ＝.
所以θ∈[0，π]，所以θ＝.]
例3　解　(1)由已知及正弦定理得＝sin C－cos C，
可化为sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C，
即sin C－sin(A＋C)＝sin Asin C－sin Acos C，
所以sin C－sin Acos C－sin Ccos A＝sin Asin C－sin Acos C.
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
所以－cos A＝sin A，
即sin＝1.
因为0所以A＋＝，故A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝18＋4－12＝10，则a＝.
因为D在边BC上，且CD＝2DB，
所以BD＝a＝.
又cos B＝＝－，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝，
所以AD＝.
训练3　解　(1)选①：由正弦定理及已知可得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴1＋cos A＝sin A，
则sin＝，
又0∴A－＝，即A＝.
选②：由正弦定理及已知可得sin Bcos ＝sin Asin B，
又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴cos＝sin A，
∴sin＝2sin cos .
又∈，∴sin ≠0，
∴cos ＝.
又0∴＝，即A＝.
选③：由正弦定理及已知可得sin Asin C＝sin Ccos，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，
则tan A＝.
又0(2)由(1)知cos A＝
＝
＝－1＝，
可得bc＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
例4　解　由题意知AB＝5(3＋) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(n mile)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).
则需要的时间t＝＝1(h).
答：救援船到达D点需要1 h.
训练4　解　如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
在△ABC中，＝，
即＝，∴AC＝20.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知
×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB.
∴AG＝
＝AC×sin∠ACB＝20sin 15°，
∴AG＝20sin(45°－30°)
＝20×
＝10(－1).
在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，
∴AE＝10(－1)×
＝10－＝，
∴塔高为 m.

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