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第七章 复 数
章末复习提升
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复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0.
一、复数的有关概念
例1
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：
(1)z∈R；
因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)z为虚数？
因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
A.0 B.－1
C.1 D.－2
训练1
√
其虚部为0.
进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
二、复数的运算
例2
因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i，
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝(3－2i)(5＋4i)＝23＋2i，
训练2
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
√
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.
三、复数的几何意义及应用
2.复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想.
例3
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
训练3
四、复数与其他知识的综合应用
复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.
例4
四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求复数z；
由题意，复平面内A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值.
3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
训练4
由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).章末复习提升
一、复数的有关概念
复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0.
例1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：
(1)z∈R；(2)z为虚数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)
A.0 B.－1 C.1 D.－2
二、复数的运算
进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
例2 设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
三、复数的几何意义及应用
1.由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b).
2.复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想.
例3 (1)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是______，|z|的最小值是______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作 ABCD，求||.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、复数与其他知识的综合应用
复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.
例4 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末复习提升
例1　解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数.
训练1　A　[因为z＝1＋i，所以＝1－i，
所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0，
其虚部为0.]
例2　解　因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i，
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝(3－2i)(5＋4i)＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
训练2　C　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.]
例3　(1)A　(2)3　　[(1)∵z＝＝
＝ [(m－4)－(2＋2m)i]，
∴复数z对应的点Z.
由得此时无解，故复数z对应点Z不可能位于第一象限.
(2)|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.]
训练3　解　如图，设D(x，y)，F为 ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－，
所以表示的复数为3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
例4　解　(1)由题意，复平面内A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，∵＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，
解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，即p＝12，q＝26.
训练4　解　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).
由点P在直线y＝x上，
得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝，
∴θ＝或θ＝.

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