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第1课时 整数与整除
课时目标
1. 理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；
2. 理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；
3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；
4. 理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；
5. 理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.
知识精要
1. 整数： 正整数 、 零 、 负整数 ，统称为整数.
零 和 正整数 统成为自然数.
　　 正整数
整数 零 自然数
　　负整数
整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，
我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.
注：（1）整除的条件：(3整1零)
①除数、被除数都是整数；
②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.
（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；
3. 因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).
注：（1）因数、倍数是互相依存的.不能说a是倍数、b是因数！
（2）一个数的因数的个数是有限的，
其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.
（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，
没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.
（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.
（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.
（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.
（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，
任何一个不等于0的整数都是0的因数.
4. 能被2、5整除的数：
（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；
（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；
（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.
（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.
5. 奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.
6. 素数、合数与分解素因数：
（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.
（2）素数(质数)：只有1和它本身两个因数；
合数：至少要有3个因数.
注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；
（2）1 既不是素数也不是合数；
7. 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.
分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.
热身练习
一、整数
1、下列说法中，错误的是： ( )
A. 最小的整数是0 B. 最大的正整数不存在
C. 最大的负整数是－1 D. 最大的自然数不存在
最小的正整数是 ，最大的负整数是 .
3、把下列各数填入相应的横线上：－3， 18，－143， 0， 5，100.
负整数： ；正整数： ；
整数： .
二、整除
4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是： ( )
A. 4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和7
5、除式9÷1.5=6表示 ( )
A. 9能被1.5整除 B. 1.5能整除9
C. 9能被1.5除尽 D. 以上说法都不确切
6、28能被a整除，a一定是 ( )
A. 4或7 B. 2、4或7
C.2、4、7、14或28 D. 1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2，我们就说 能被 整除或 能整除 .
8、能整除14的数是 .
三、因数和倍数
9、 6的因数有 ( )
A.8个 B. 6个 C. 4个 D. 2个
10、6的倍数有 ( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
11、已知14能整除a，那么a是 ( )
A.1和14 B. 2和14 C. 14的因数 D. 14的倍数
12、下列说法错误的是 ( )
A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身
C. 12在100以内的倍数共有10个
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16
四、能被2、5整除的数
13、末位数字是 的数一定能被2整除.
14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是 .
15、能被5整除的最大的两位数是 ，最小的两位数是 .
16、奇数与偶数的积必定是 .
17、两个连续自然数的和是 .
18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数 .
五、素数、合数与分解素因数：
19、在正整数1到20中，奇数有 个，偶数有 个，素数有 个，合数有 个 .
20、在1、2、9这三个数中， 既是素数又是偶数， 既是合数又是奇数，
既不是素数也不是合数.
21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学 位.
精解名题
例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是 ( )
A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
例2 12÷4=3，下列说法不正确的是 ( )
A. 12是4的倍数 B. 4是12的因数 C. 4是12的约数 D.12是倍数
例3 下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？
35、85、60、108、321、1234、2010
能被2整除：
能被5整除：
能同时被2和5整除：
例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？
13、24、37、10、9、123、88、0、345
奇数：
偶数：
例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？
例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 ，这时候商为 .
5 5 5 5 1+？
线段图解
例7 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？
巩固练习
一、填空题
1、24的因数有 .
2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是 .
3、在20的所有因数中，最大的是 ，最小的是 .
4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有 个.
二、选择题
5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( )
A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8
6、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( )
A. 91 B. 89 C. 11 D. 9
7、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( )
A.偶数 B. 奇数 C.无法确定 D.我承认我不知道
8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 ( )
A. 11 B. 9 C.12 D. 8
三、解答题
9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：
－5、0、21、81、、215、－9、－8.1、1.
整数 正整数 负整数
写出63的所有因数 .
11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？
12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.
（1）能被2整除，但不能被5整除；
（2）能被5整除，但不能被2整除；
（3）既能被2整除，又能被5整除；
答案：
热身练习
一、整数
1、下列说法中，错误的是： ( A )
A. 最小的整数是0 B. 最大的正整数不存在
C. 最大的负整数是－1 D. 最大的自然数不存在
最小的正整数是 1 ，最大的负整数是 －1 .
3、把下列各数填入相应的横线上：－3， 18，－143， 0， 5，100.
负整数： －3 ，－143 ；正整数： 18，5，100 ；
整数： －3， 18， －143，0 ，5，100 .
二、整除
4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是： ( D )
A. 4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和7
5、除式9÷1.5=6表示 ( C )
A. 9能被1.5整除 B. 1.5能整除9
C. 9能被1.5除尽 D. 以上说法都不确切
6、28能被a整除，a一定是 ( D )
A. 4或7 B. 2、4或7
C.2、4、7、14或28 D. 1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2，我们就说 18 能被 9 整除或 9 能整除 18 .
8、能整除14的数是 1、2、7、14 .
三、因数和倍数
9、 6的因数有 ( C )
A.8个 B. 6个 C. 4个 D. 2个
10、6的倍数有 ( D )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
11、已知14能整除a，那么a是 ( D )
A.1和14 B. 2和14 C. 14的因数 D. 14的倍数
12、下列说法错误的是 ( C )
A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身
C. 12在100以内的倍数共有10个
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16
四、能被2、5整除的数
13、末位数字是 0、2、4、6、8 的数一定能被2整除.
14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是 0 .
15、能被5整除的最大的两位数是 95 ，最小的两位数是 10 .
16、奇数与偶数的积必定是 偶数 .
17、两个连续自然数的和是 奇数 .
18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数 30、60、90 .
五、素数、合数与分解素因数：
19、在正整数1到20中，奇数有 10 个，偶数有 10 个，素数有 8 个，合数有 11 个 .
20、在1、2、9这三个数中， 2 既是素数又是偶数， 9 既是合数又是奇数，
1 既不是素数也不是合数.
21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学 37 位.
精解名题
例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是 ( D )
A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
例2 12÷4=3，下列说法不正确的是 ( D )
A. 12是4的倍数 B. 4是12的因数 C. 4是12的约数 D.12是倍数
例3 下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？
35、85、60、108、321、1234、2010
能被2整除： 60、108、1234、2010
能被5整除： 35、85、60、2010
能同时被2和5整除： 60、2010
例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？
13、24、37、10、9、123、88、0、345
奇数： 13、37、9、123、345
偶数： 24、10、88、0
例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？
解：216=2×2×2×3×3×3=12×18所以这两个数就是12和18，它们和是30.
例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 4 ，这时候商为 5 .
5 5 5 5 1+？
线段图解
例7 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？
解：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（都是平方数）.
巩固练习
一、填空题
1、24的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24 .
2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是 9270 .
3、在20的所有因数中，最大的是 20 ，最小的是 1 .
4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有 31 个.
二、选择题
5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( C )
A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8
6、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( A )
A. 91 B. 89 C. 11 D. 9
7、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( A )
A.偶数 B. 奇数 C.无法确定 D.我承认我不知道
8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 ( D )
A. 11 B. 9 C.12 D. 8
三、解答题
9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：
－5、0、21、81、、215、－9、－8.1、1.
整数 正整数 负整数
10、写出63的所有因数 1、3、7、9、21、63 .
11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？
解：1、3、5、15
12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.
（1）能被2整除，但不能被5整除；5304
（2）能被5整除，但不能被2整除；4305
（3）既能被2整除，又能被5整除；5430
－5， 0， 21， 81， 215， －9， 1
－5，－9
21， 81， 215， 1
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