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专题27.2.1相似三角形（一）七大题型（一课一讲）
（内容:相似三角形及其判定）
【人教版】
题型一：判断两个三角形是否相似
【经典例题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用，勾股定理与网格．
【详解】解：已知给出的三角形的三边按小到大分别为，
A选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意；
B选项的三边按小到大排序是，与原三角形三边成比例，故该选项符合题意；
C选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意；
D选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-1】在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、如图，
∵，，
∴，不符合题意；
、如图，
∵，，
∴，不符合题意；
、如图，
∵，，
∴，不符合题意；
、如图，
由，不能证明和相似，符合题意；
故选：．
【变式训练1-2】如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【详解】∵由图可知，，，
∴，，
A选项中三角形各角的度数不能确定，
B选项中三角形各角的度数分别为，，
C选项中三角形各角的度数分别为，，，
D选项中三角形各角的度数分别为，，，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
【变式训练1-3】在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．，； B．，，，；
C．，，，； D．，，，．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可．
【详解】A．相似：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，不符合题意；
B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意；
C．相似：∵，，，，
∴．
又∵，
∴，不符合题意；
D．相似：∵，，，，，
∴，，
∴．
∵，
∴，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-4】已知 ABC的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与 ABC一定相似的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意可知是一个含30度的直角三角形，然后可进行排除选项．
【详解】解：∵的三边长为1、2、，且，
∴是一个直角三角形，
由选项可知：，所以只需满足即可；
故选D．
【变式训练1-5】下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，，
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、∵，，只有一角一边，
∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意；
B、∵，，不是与的夹角，
∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意；
C、由，可得，
再由，得，
∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，
∴可判断，故C符合题意；
D、由，，
得，
由，，
得，
∵只有，
∴不能得，故D不符合题意．
故选：C．
题型二：添加一个条件让两个三角形相似
【经典例题2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
，
，
A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意；
B、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
C、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意；
D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-1】如图，下列所添加条件不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形相似的判定定理，结合所给条件及隐含条件逐一进行判断即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解∶∵，，
∴，故选项A错误，符合题意；
∵，，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵，，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【变式训练2-2】如图，在 ABC中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意；
B、因为，，所以，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意；
故选：C
【变式训练2-3】如图，在 ABC中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断 ABC与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：A.∵，，
∴，故A不符合题意；
B.∵，而与不一定相等，不能使和相似，故B符合题意；
C.∵
∴，
∴，故C不符合题意；
D.∵，，
∴，故D不符合题意．
故选：B．
【变式训练2-4】如图，在 ABC和 ADE中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定 ABC与相似，这个条件是 ．(添加一个即可)
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，或添加．
【详解】解：在和中，
，
故只需要增加一组角对应相等即可，
可添加，
此时，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练2-5】如图，点D，E分别在 ABC的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使 ADE与一定相似的有 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意；
由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意；
故答案为：．
【变式训练2-6】根据下列条件，判断 ABC与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键．
（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论；
（2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，，
，，
．
题型三：相似三角形的证明
【经典例题3】如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查相似三角形的判定，找准对应边的比，正确计算是本题的解题关键．
根据题意求得，，进而判定三角形相似．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练3-1】如图，在 ABC中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—作已知角的角平分线，相似三角形的判定，熟练掌握相关性质为解题关键．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）利用角平分线定义结合已知可得，结合即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，即为的角平分线；
（2）由（1）可得：，
，
，
又，
．
【变式训练3-2】如图，在 ABC中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练3-3】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．
先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【变式训练3-4】如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3-5】如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，，根据邻补角互补可得，利用可推出，利用等式的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，且，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，邻补角的定义，等式的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
题型四：判断与已知三角形相似的个数
【经典例题4】如图，在 ABC中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将 ABC分成两部分，可以使其中一部分与 ABC相似的点的个数为（　　）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可．
【详解】解：①当时，，，
②当时，，，
③当时，，，
④当时，，，
综上：一共有4个，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵E、F分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【变式训练4-2】如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，且，根据相似三角形的判定进行判断，即可求解．
【详解】解：根据图形可得，，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
综上所述，与相似的三角形的个数是3个，
故选：B．
【变式训练4-3】如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与 ABC相似（不含 ABC）的三角形个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论．
【详解】解：∵、分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【变式训练4-4】如图，锐角 ABC的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟记三角形的判定方法是解本题的关键，本题结合三角形的高的含义，分别证明，，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵、是高，
∴，
又∵，
∴，
又∵、是高，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴和相似的三角形有3个．
故选C．
【变式训练4-5】如图，在 ABC中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）

① ；② ；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与 CDE只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故选C．
【变式训练4-6】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 ABC是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案．
【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，

则，且，
∴，，
∴．
同理可证：，．
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
综上，满足条件的三角形有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键．
题型五：裁剪使两个三角形相似
【经典例题5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
，，
，故A不符合题意；
如图2，
，，
，故B不符合题意；
如图3，
，，，
，，
，
，
，故C不符合题意；
如图4，
与的对应边不成比例，
与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式训练5-2】剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定、折叠性质、等腰直角三角形的性质，根据折叠性质和相似三角形的判定逐个判断即可．
【详解】解：由题意， ABC是等腰直角三角形，则，
由折叠性质得，，，故选项C不符合题意；
∴，
则 ADE与 BDE、 ADE与 BCE不相似，故选项A、B不符合题意；
∵，，
∴，故选项D符合题意，
故选：D．
【变式训练5-3】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与 ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与 ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式训练5-4】如图， ABC中，，，．将 ABC沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-5】如图，在三角形纸片中，，，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故答案为：①②④．
题型六：尺规作图使两个三角形相似
【经典例题6】在 ABC中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作垂线，相似三角形的判定，过点C作，结合已知条件可知，再证明，然后可得．
【详解】时，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练6-1】数学课上，老师提出下面的问题：如图，在 ABC中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与 ABC相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图、相似三角形的判定．
根据作图痕迹判断即可．
【详解】若使与 ABC相似，
则，
即是的垂线，
故选：C．
【变式训练6-2】在 ABC中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使，根据作图痕迹判断，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作角平分线、尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
根据，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可获得答案．
【详解】解：当是的垂线时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
根据作图痕迹可知，
A选项中，是的角平分线，不一定与垂直，不符合题意；
B选项中，是的中线，不一定与垂直，不符合题意；
C选项中，是的垂线，符合题意；
D选项中，不与垂直，不符合题意．
故选：C．
【变式训练6-3】在矩形中，
(1)P是边上一点，且，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)任意选取一点P，证明：．
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定：
（1）根据，得到点在以为直径的圆上，作的垂线，确定圆心的位置，再以为直径画圆，圆与的交点即为点；
（2）根据矩形的性质，结合同角的余角相等，利用两组对应角相等的两个三角形相似，即可得证．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-4】如图，已知钝角 ABC中．
(1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法）
(2)请用数学语言简述作图的合理性．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．
(1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作．
(2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可．
【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求作．
（2）根据作图，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故作法是合理的．
【变式训练6-5】在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB，AC交于点E，D两点．
(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
(2)找出一组相似三角形（不用说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)△CBD∽△CAB
【分析】（1）以大于二分之一AB的长度为半径，分别以A，B两点为圆心在线段AB的两侧画弧，分别交于一点，连接两个交点即可；
（2）根据角平分线的性质求出角之间的等量关系，进而根据相似三角形的相似的条件判断即可．
【详解】（1）解：如图，直线DE即为所求．
（2）解：△CBD∽△CAB．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°
∵∠A＝40°，
∴∠∠CBD＝∠A＝40°，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB．
【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，以及相似三角形的判定，能够熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键．
题型七：相似三角形中多结论问题
【经典例题7】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
设，则，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式训练7-1】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①；
将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可证，
，
，
，
，故①正确；
如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，
由旋转知：，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四边形是正方形，
．
由旋转知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可证：
，
即为直角三角形，故②正确；
，
，
又，
由①可知：，
，
，
又，
，故③正确；
如图中，
旋转到，，
，，
同理②中可证：，
，设，
，，
四边形是正方形，
，
，
在中，根据勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的边长为；
由正方形的边长为，
，
由①可知，
，，
由②得，
设，
，，
，
，
解得，
，故④正确
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式训练7-3】如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，利用全等三角形的判定和性质得出EF＝FN，再由等腰三角形三线合一的性质确定△EBN为等腰三角形、BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②错误；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③正确；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④正确．
综上所述：①③④都正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．
【变式训练7-4】如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；．其中正确的是 ．

【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质和矩形的性质分析判断；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断；利用勾股定理求出，再分别求出、及，即可判断和；根据相似三角形的判定分析判断；掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由折叠性质可得，，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，故正确；
设，，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，故错误；
在中，设，则，
∴，
解得，
∴，，
在中，
，
∴，，故正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴与不相似，故错误；
综上，正确的是，
故答案为：．
【变式训练7-5】如图，矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连，并过点作，垂足为．①；②的最小值为；③在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；④在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有 （填写序号）
【答案】①②④
【分析】由四边形是矩形，，得，则，即可证明∽，可判断①正确；取的中点，连接，，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断②正确；当点与点重合时，则与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，由，得，则，，可求得扫过的面积为，可知此时，可判断③错误；可求得，则点的运动路径的长为，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图1，取的中点，连接，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故②正确；
如图，点的运动路径为以的中点为圆心，半径长为的一段圆弧，中小学教育资源及组卷应用平台
专题27.2.1相似三角形（一）七大题型（一课一讲）
（内容:相似三角形及其判定）
【人教版】
题型一：判断两个三角形是否相似
【经典例题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．，； B．，，，；
C．，，，； D．，，，．
【变式训练1-4】已知 ABC的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与 ABC一定相似的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，．
【变式训练1-5】下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，，
题型二：添加一个条件让两个三角形相似
【经典例题2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，下列所添加条件不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】如图，在 ABC中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，在 ABC中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断 ABC与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，在 ABC和 ADE中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定 ABC与相似，这个条件是 ．(添加一个即可)
【变式训练2-5】如图，点D，E分别在 ABC的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使 ADE与一定相似的有 ．
【变式训练2-6】根据下列条件，判断 ABC与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，．
题型三：相似三角形的证明
【经典例题3】如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：．
【变式训练3-1】如图，在 ABC中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶．
【变式训练3-2】如图，在 ABC中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：．
【变式训练3-3】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：．
【变式训练3-4】如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：．
【变式训练3-5】如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．
题型四：判断与已知三角形相似的个数
【经典例题4】如图，在 ABC中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将 ABC分成两部分，可以使其中一部分与 ABC相似的点的个数为（　　）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-1】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【变式训练4-2】如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-3】如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与 ABC相似（不含 ABC）的三角形个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-4】如图，锐角 ABC的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-5】如图，在 ABC中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）

① ；② ；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-6】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 ABC是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：裁剪使两个三角形相似
【经典例题5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练5-3】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图， ABC中，，，．将 ABC沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B． C．D．
【变式训练5-5】如图，在三角形纸片中，，，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号）
题型六：尺规作图使两个三角形相似
【经典例题6】在 ABC中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】数学课上，老师提出下面的问题：如图，在 ABC中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与 ABC相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-2】在 ABC中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使，根据作图痕迹判断，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-3】在矩形中，
(1)P是边上一点，且，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)任意选取一点P，证明：．
【变式训练6-4】如图，已知钝角 ABC中．
(1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法）
(2)请用数学语言简述作图的合理性．
【变式训练6-5】在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB，AC交于点E，D两点．
(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
(2)找出一组相似三角形（不用说明理由）．
题型七：相似三角形中多结论问题
【经典例题7】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练7-1】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练7-2】如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练7-3】如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【变式训练7-4】如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；．其中正确的是 ．

【变式训练7-5】如图，矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连，并过点作，垂足为．①；②的最小值为；③在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；④在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有 （填写序号）

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