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新教材湘教版七年级数学上册全册知识点整理
第1章 有理数
一、1.1 认识负数
正数和负数的定义
正数：比0大的数叫做正数。正数前面的 “+” 号可以省略不写，例如+3可以写成3。
负数：比0小的数叫做负数。负数前面的 “-” 号不能省略，例如-5。
0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。
用正负数表示具有相反意义的量
例如：如果规定向东走为正，那么向西走就为负；收入为正，支出为负等。在实际问题中，我们可以根据具体的规定来用正负数表示不同的量。如气温零上5记作+5，零下3记作-3。
二、1.2 数轴、相反数与绝对值
数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点（表示0的点）、正方向（一般规定向右为正方向）、单位长度（根据实际需要选取适当的长度作为单位长度）。
数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。例如，2在原点右边2个单位长度处，-3在原点左边3个单位长度处。
相反数
定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如3和-3互为相反数，a的相反数是-a。
性质：互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0。例如5+(-5)=0。在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
绝对值
定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作。
性质：
三、1.3 有理数大小的比较
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的数总比左边的数大。例如，在数轴上表示2的点在表示-1的点的右边，所以。
利用法则比较有理数的大小
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较-3和-5，
。
四、1.4 有理数的加法和减法
有理数加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如。
异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如,。
一个数同0相加，仍得这个数，例如0+7=7。
有理数加法的运算律
加法交换律：a+b=b+a。例如3+5=5+3。
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。例如(2+3)+4=2+(3+4)。
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。例如，5-3=5+(-3),3-5=3+(-5)。
五、1.5 有理数的乘法和除法
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，
任何数与0相乘，都得0。例如。
有理数乘法的运算律
有理数除法法则
除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即。例如，。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如，无意义。
六、1.6 有理数的乘方
乘方的定义
求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作，其中a叫做底数，叫做n指数，读作 “a的n次方” 或 “a的n次幂”。例如，其中2是底数，3是指数，8是幂。
乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数。例如等。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如。
0的任何正整数次幂都是0，例如。
七、1.7 有理数的混合运算
运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算，从左到右进行。
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。例如计算，先算小括号内的4-1=3，再算乘法，然后算加法2+9=11，最后算除法。
第2章 代数式
2.1 代数式的概念和列代数式
代数式的概念
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。例如，等都是代数式。
运算符号包括加（+）、减（-）、乘（）、除（）、乘方（）、开方（）。需要注意的是，代数式中不含有等关系符号。
列代数式
把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。例如，若苹果的单价是a元 / 千克，购买b千克苹果，那么总价就是ab元。
在列代数式时，要注意以下几点：
数字与字母、字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；当数字因数是1或-1时，“1” 省略不写。例如，写成a，写成-a。
数字因数应写在字母因数的前面，带分数要写成假分数的形式。例如。
除法运算一般写成分数形式。例。
2.2 代数式的值
代数式的值的概念
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。例如2x+3，对于代数式，当x=1时，代数式的值为。
求代数式的值的步骤
代入：将给定的字母的值代入代数式中。
计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算。运算顺序是先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。例如，对于代数式，当x=2，y=1时，先计算，然后计算。
2.3 整式的概念
单项式的概念
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如3x，，5等都是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，在单项式3x中，系数是3；在单项式中，系数是-2。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，在单项式3x中，次数是1；在单项式中，次数是2+1=3。
多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式。例如2x+3y，，等都是多项式。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，在多项式中，、-2a、1都是它的项，其中1是常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，在多项式中，次数最高的项是，次数是2，所以这个多项式的次数是2。
整式的概念
单项式与多项式统称为整式。
2.4 整式的加法与减法
同类项的概念
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如，与是同类项，2与7也是同类项。
合并同类项的概念和法则
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。例如，合并同类项。
去括号法则
括号前是 “+”，把括号和它前面的 “+” 去掉后，原括号里各项的符号都不改变。例如，a+(b-c)=a+b-c。
括号前是 “-”，把括号和它前面的 “-” 去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如，a-(b-c)=a-b+c。
整式加减法的一般步骤
如果有括号，先去括号；然后合并同类项。例如，计算，先去括号得，再合并同类项得
第3章 一次方程（组）
3.1 等量关系和方程
等量关系：
表示数量之间相等关系的语句。在解决实际问题时，关键是要通过分析题目中的条件，找出其中蕴含的等量关系，它是列方程的依据。例如行程问题中常见的 “路程 = 速度 × 时间”，工程问题里的 “工作量 = 工作效率 × 工作时间” 等都是典型的等量关系表述。
可以通过列表、画图等方式梳理题目中的数量，以便更清晰地找出等量关系。
方程：
含有未知数的等式叫做方程。如2x+3=7，其中x是未知数，整个式子是一个等式，所以它是方程。
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，例如对于方程x+5=8，x=3就是它的解，因为把x=3代入方程后，左边3+5=8，与右边相等。
3.2 等式的基本性质
性质 1（等式的对称性）：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。用式子表示为：如果a=b，那么。例如若x+3=5，等式两边同时减3，得到x+3-3=5-3，即x=2。
性质 2（等式的传递性）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。用式子表示为：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，，那么。比如对于方程2x=6，等式两边同时除以2，即，可得x=3。
3.3 一元一次方程的解法
一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，一般形式是ax+b=0 (a，b为常数，），像3x-5=0就是一元一次方程。
解法步骤：
去分母：方程中若有分母，根据等式性质 2，给方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母，化为整式方程。要注意别漏乘不含分母的项。例如对于方程，两边同时乘以 6，得到3x+6=4x。
去括号：根据去括号法则，将方程中的括号去掉。括号前是 “+”，把括号和它前面的 “+” 去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是 “-”，把括号和它前面的 “-” 去掉后，原括号里各项的符号都要改变。比如方程2(x-3)+5=3x，去括号后变为2x-6+5=3x。
移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，依据是等式性质 1。移项要变号，如方程3x+5=2x-1，移项后得到3x-2x=-1-5。
合并同类项：将方程中可以合并的同类项进行合并，化为ax=b（）的形式，比如3x-2x=-1-5合并同类项后变为x=-6。
系数化为 1：根据等式性质 2，在方程ax=b（）两边同时除以a，得到，完成方程的求解。
3.4 一元一次方程的应用
一般步骤：
审：认真审题，理解题意，弄清楚题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系，找出等量关系。
设：设出未知数，可以直接设所求的量为未知数，也可以间接设未知数，设未知数时要写明单位。
列：根据找出的等量关系，列出方程。
解：求解所列的方程。
验：检验方程的解是否符合实际意义，把解代入原方程看是否成立等。
答：写出答案，要包含单位等完整的表述。
常见题型及等量关系举例：
行程问题：
相遇问题：路程和 = 速度和 × 相遇时间，例如甲、乙两人分别从相距千米的两地同时出发相向而行，甲的速度是千米 / 小时，乙的速度是千米 / 小时，经过小时相遇，则。
追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间，如甲在乙前面s千米处，甲的速度是千米 / 小时，乙的速度是千米 / 小时（），经过小时乙追上甲，则。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间，常把工作总量看成单位 “1”，若甲单独完成一项工作需m天，那么甲的工作效率就是，若甲、乙合作完成需天，则可列方程（设乙单独完成需m2天）。
销售问题：利润 = 售价 - 进价，，如某商品进价为a元，标价为b元，打x折销售，此时售价为0.1bx元，利润为0.1bx-a元，利润率为等。
3.5 认识二元一次方程组
二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程，一般形式是就是二元一次方程。
二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，像就是二元一次方程组。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。例如对于方程组，解为，把x=2，y=1代入两个方程都能使方程成立。
3.6 二元一次方程组的解法
代入消元法：
步骤：
从方程组中选取一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，例如对于方程组，由方程x+y=5可得x=5-y。
将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，把x=5-y代入2x-y，则2(5-y)-y=1。
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，解2(5-y)-y=1可得y=3。
将求得的未知数的值代入变形后的式子或原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，把y=3代入x=5-y，得x=2。
写出方程组的解，即。
加减消元法：
步骤：
当方程组中两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，例如对于方程组，将两个方程相加，可得5x=12。
若同一未知数的系数不相等也不互为相反数，可通过适当变形，使同一未知数的系数相等或互为相反数，如方程组，可以给第一个方程两边同时乘以 2，第二个方程两边同时乘以 3，得到，再将两方程相加消去y。
解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值。
把求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，并写出方程组的解。
3.7 二元一次方程组的应用
与一元一次方程应用类似，步骤一般也是审、设、列、解、验、答。不过这里设未知数时通常设两个未知数，通过找出两个等量关系列出二元一次方程组来求解。例如：甲、乙两人加工同一种零件，甲加工90个零件所用的时间与乙加工120个零件所用的时间相等，已知甲、乙两人每小时共加工35个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件。设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，根据 “甲加工90个零件所用的时间与乙加工120个零件所用的时间相等” 可得，根据 “甲、乙两人每小时共加工35个零件” 可得x+y=35，解这个方程组就能得出甲、乙每小时加工零件的个数。
3.8 三元一次方程组
三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做三元一次方程，例如x+y+z=6。
三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个整式方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，像就是三元一次方程组。
解法：通过消元的思想，先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再用解二元一次方程组的方法求解，比如可以利用代入消元法或加减消元法逐步消元来求解三元一次方程组。
综合与实践 古诗文中的数学
主要是挖掘古诗文中蕴含的数学知识、数学思想以及数学问题，通过用方程（组）等数学知识去解读、解决这些问题，体会数学与传统文化的融合，培养从不同情境中发现数学问题并解决问题的能力。例如 “鸡兔同笼” 问题在古代算经中有记载，通过设未知数，列方程（组）等现代数学方法可以很好地解决这类古代数学趣题。
第4章 图形的认识
4.1 立体图形与平面图形
基本概念
立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形是立体图形。例如长方体，它有长、宽、高三个维度，是生活中常见的立体图形，像我们的教室，大致可以看作一个长方体。还有正方体，它的六个面都是正方形，如魔方就是正方体的典型代表。另外，圆柱（如易拉罐）、圆锥（如圣诞帽）、球（如篮球）等也都是立体图形。
平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形。像三角形、四边形、圆等。三角形有多种类型，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，在生活中可以看到很多三角形结构的物体，比如自行车的车架，很多部分是三角形，这利用了三角形的稳定性。四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等，矩形在建筑设计中用于窗户、门等的形状设计。圆在生活中也很常见，如车轮、各种圆形的表盘等。
立体图形与平面图形的关系
许多立体图形是由平面图形围成的。例如，长方体是由六个矩形围成的；三棱柱是由两个三角形和三个矩形围成的。
从不同方向看立体图形可以得到不同的平面图形，这是视图的概念。例如，从正面看圆柱得到的是一个矩形，从上面看圆柱得到的是一个圆。
4.2 线段、射线、直线
基本概念
线段：线段有两个端点，不可以向两边无限延伸，它的长度是可以度量的。例如，连接两点 A、B 的线段可以记作线段 AB 或线段 BA，在实际生活中，像铅笔的长度、桌子的边长等都可以看作线段的长度。
射线：射线有一个端点，可以向一边无限延伸。射线 AB 是指以 A 为端点，向 B 的方向无限延伸的射线。例如，手电筒发出的光可以近似看作射线，它从手电筒这个端点出发，向一个方向无限延伸。
直线：直线没有端点，可以向两边无限延伸，它的长度不可度量。经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。在建筑施工中，工人师傅在砌墙时，会先在两端固定两个点，然后拉一条线，这样就可以保证砌的墙是直的，利用的就是两点确定一条直线的原理。
线段、射线、直线的表示方法
线段可以用它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。如线段 AB 或线段 a。
射线用它的端点和射线上另外一点来表示，端点字母写在前面，如射线 OA（O 是端点）。
直线可以用直线上两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如直线 AB 或直线 l。
线段的比较和运算
比较线段大小有两种方法：一是度量法，用刻度尺量出线段的长度，再比较长度大小；二是叠合法，将两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同侧，根据另一个端点的位置来比较大小。
线段的和差：如果线段 a、b、c，且c=a+b，则称线段 c 是线段 a 与线段 b 的和；如果d=a-b（），则称线段 d 是线段 a 与线段 b 的差。
4.3 角
基本概念
角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。另外，角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。例如，钟表的指针旋转会形成角。
角的表示方法：角可以用三个大写字母表示，如（O 是顶点，A、B 是角的两条边上的点）；可以用一个大写字母表示（这个大写字母是顶点，且以这个顶点为顶点的角只有一个时），如；可以用一个阿拉伯数字表示，如；也可以用一个希腊字母表示，如。
角的度量
角的度量单位有度、分、秒。。例如，一个角是，它的度、分、秒的换算要按照上述规则进行。
角的比较和运算
角的比较方法和线段类似，一是度量法，用量角器量出角的度数，再比较大小；二是叠合法，将两个角的顶点和一条边重合，另一条边落在同侧，根据另一条边的位置来比较大小。
综合与实践：七巧板与拼图制作
七巧板的组成：七巧板是由七块板组成的，包括五块等腰直角三角形（两块小三角形、一块中等三角形和两块大三角形）、一块正方形和一块平行四边形。
七巧板的历史和应用：七巧板是中国古代劳动人民的发明，它可以拼出各种人物、动物、建筑等形状。通过七巧板拼图可以培养学生的空间观念、几何直观和动手操作能力。例如，用七巧板可以拼出一个房子的形状，用正方形作为房子的主体部分，两个小三角形作为屋顶等。在拼图过程中，学生可以更好地理解几何图形之间的组合关系和空间位置关系。

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