资源简介

第三章 函数的概念与性质
考点清单
习目标整合
学习目标整合
函数的概念及其表示 （1）建立完整的函数概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. （2）掌握分段函数的简单应用.
函数的基本性质 （1）理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. （2）掌握奇偶性和周期性的概念及其应用.
二次函数与幂函数 （1）理解并掌握二次函数的定义、图象和性质；会求二次函数在闭区间上的最值 （2）了解幂函数及其应用.
函数的应用 （1）会运用函数图象理解和研究函数的性质. （2）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
思维导图回顾知识
思维导图回顾知识
重难知识易混易错 重难知识易混易错
重难知识点讲解
1.函数的单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
2.函数的最大（小）值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.
3.幂函数的性质
幂函数
定义域 R R R
值域 R R
单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 都经过点
4.几类常见的函数模型：
（1）一次函数模型：.
（2）反比例函数模型：.
（3）二次函数模型：.
（4）幂函数模型：(是常数).
（5）分段函数模型：以上两种或多种模型的组合.
易混易错例题
1.设函数，，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.下列函数的定义域与值域相同的是( )
A. B. C. D.
3.若函数为偶函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为( )
A.-2 B.0 C.2 D.2或-2
5.已知函数，则该函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，且，有，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.为偶函数
7.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是__________.
8.已知幂函数，若，则a的取值范围是______________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题知，即，所以.
2.答案：A
解析：函数的定义域和值域都为R，A正确；由，得的定义域为，值域为，B错误；的定义域为R，值域为，C错误；的定义域为R，值域为，D错误.
3.答案：C
解析：因为是偶函数，所以，即，所以.当时，单调递增.又，所以.
4.答案：A
解析：因为为幂函数，所以，解得.
当时，，图象过原点，不合题意，舍去；当时，，图象不过原点，符合题意.综上所述，.故选A.
5.答案：B
解析：设，由，即，得或，所以函数的定义域为.因为函数的图象的对称轴为直线，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性知函数的单调递增区间为.
6.答案：BCD
解析：由，得.由为奇函数，得，即，所以，即，所以，故A错误；由，得，所以，由，得，所以，故B，C正确；由，，得，所以为偶函数，故D正确.
7.答案：2024
解析：因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，
都有，则可设（c为常数），故，
且，解得，所以，则.
8.答案：
解析：由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数a的取值范围为.
核心素养对接高考
核心素养对接高考
核心素养
数学抽象、逻辑推理
真题对接
1．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( )
A.-1 B. C.1 D.2
参考答案
1．答案：B
解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.
2．答案：D
解析：法一：令，即，可得，令，，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.
法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，，又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选D.

展开更多......

收起↑