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第四章 指数函数与对数函数
考点清单
学习目标整合学习目标整合
指数函数、对数函数 （1）掌握指数幂的运算性质. （2）了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. （3）会分辨指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点. （4）理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式. （5）了解对数函数的概念，会分辨对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.
函数的应用 （1）了解函数零点与方程解的关系. （2）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
思维导图回顾知识
思维导图回顾知识
重难知识易混易错 重难知识易混易错
重难知识点讲解
1.指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
2.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
3.对数的运算性质：如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）.
4.对数换底公式：，且；；，且
5.对数函数的图象和性质
图象
定义域
值域 R
单调性 减函数 增函数
过定点 过定点，即时，
6.反函数：一般地，指数函数，且和对数函数，且互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，图象关于直线对称.
7.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
8.二分法的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
易混易错例题
1.函数的值域为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的零点，其中k为整数，则k的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.地震的震级与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达，其中M为震级，E为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次5.0级地震能量大约是第二次3.6级地震能量的（参考数据：，）( )
A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.126倍
5.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.函数（，，），若，则a的值为( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
7.已知函数，则不等式的解集是__________.
8.已知函数若函数有5个零点，则实数m的取值范围为___________.
9.为了做好流感预防工作，某学校要求全校各班级每天利用室外课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系为（a，b为常数），其图象经过点，，根据图中提供的信息，解决下面的问题.
（1）求从药物释放开始，y与x的函数关系式.
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，才能保证对人身无害，若该校室外课间操时间为，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为函数是增函数，所以当时，，所以，即该函数的值域为.
2.答案：C
解析：函数是减函数，所以.函数在上单调递增，所以.函数是减函数，所以，所以，即.
3.答案：C
解析：因为函数在其定义域内为增函数，所以至多有一个零点.因为，，所以，即函数在内存在一个零点.又，k为整数，所以.
4.答案：D
解析：第一次，即①，第二次，即②，得，即，由题可知，故.故选D.
5.答案：A
解析：因为与在R上均为减函数，所以在R上为减函数.因为，所以为奇函数，所以等价于，所以，解得.所以不等式的解集为.
6.答案：C
解析：由题意得，，
令，则，则函数，，
即，.
当时，在上单调递增，由可得，解得；
当时，在上单调递减，由可得，解得.故a的值为2或，故选C.
7.答案：
解析：，即.由解得或画出，的图象如图所示.由图可知，不等式的解集是.
8.答案：
解析：若，则当时，可得，解得；当时，可得，则，解得.综上，x的值为或1.令，可得或，即或.由题意可知的图象与直线，共有5个交点.作出的图象，如图所示.
由图可得或解得，所以实数m的取值范围为.
9.答案：（1）
（2）学校可以选用这种药物用于教室消毒
解析：（1）依题意，当时，设.
因为函数的图象经过点A，所以，解得.
又当时，，所以.
又图象过点B，则，因此，
所以
（2）由（1）知，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，
有，即，所以，解得.
因此至少需要后才能保证对人身无害，而室外课间操时间为，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.
核心素养对接高考
核心素养对接高考
核心素养
数学抽象、数学运算、数学建模
真题对接
1．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.1
2．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．[2023年 新课标Ⅰ卷]若为偶函数，则( )
A.-1 B.0 C. D.1
参考答案
1．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则
，故选C.
2．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.
3．答案：B
解析：法一：设，易知的定义域为，且，所以为奇函数.若为偶函数，则也应为奇函数，所以，故选B.
法二：因为为偶函数，，，所以，解得，故选B.

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