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第五章 三角函数
考点清单
学习目标整合学习目标整合
任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比. （2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式. （3）掌握诱导公式及其应用.
三角恒等变换 （1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式. （2）能进行简单的三角恒等变换.
三角函数的图象与性质 （1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用. （2）了解的实际意义，理解参数A，，的意义以及参数的变化对函数图象的影响.
思维导图回顾知识
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识易混易错
重难知识点讲解
1.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，.
2.诱导公式一：，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
诱导公式二：；；.
诱导公式三：；；.
诱导公式四：；；.
诱导公式五：；.
诱导公式六：；.
3.三角函数的单调性：
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
4.三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则.
5.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
6.三角函数的对称性：函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行.
7.两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
两角和与差的正弦公式：，
两角和与差的正切公式：:，
8.二倍角的正弦公式：.
二倍角的余弦公式：.
二倍角的正切公式：.
9.函数的图象与的图象的关系：函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
易混易错例题
1.若角为第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
3.已知为锐角，，则( ).
A. B. C. D.或
4.已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若且，的图象不重合，则( )
A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增 D.是的最小值
6.已知，则__________.
7.将函数且的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则___________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，又角为第二象限角，解得.故选：B
2.答案：D
解析：因为的最小正周期，，所以在处取最小值，所以，，即，.因为，所以.故选D.
3.答案：C
解析：，解得.因为为锐角，所以，，..
4.答案：B
解析：由，则，由，则，解得，由，则当时，函数取得对称中心，由题意可得，化简可得，当时，，显然当时，，所以，则.故选B.
5.答案：B
解析：由题意得.，，由且，的图象不重合，
可知，所以.因为，
所以，所以.由，
即，故A错误；令，得，故B正确；当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，故C错误；，故D错误.故选B.
6.答案：
解析：由，得，所以，所以.
7.答案：
解析：将函数且的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象对应的函数解析式为.所以与为同一函数，故，，即，，所以.
核心素养对接高考
核心素养对接高考
核心素养
直观想象、数学运算、逻辑推理
真题对接
1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.3m
4．[2024年 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点
B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期
D.与的图象有相同的对称轴
6．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意，得，所以，所以
，所以，故选B.
2．答案：D
解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D.
法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
3．答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A.
4．答案：C
解析：因为函数的最小正周期，所以函数在上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数与在上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
5．答案：BC
解析：对于A，令，则，，又，故A错误；
对于B，与的最大值都为1，故B正确；
对于C，与的最小正周期都为，故C正确；
对于D，图象的对称轴方程为，，即，，图象的对称轴方程为，，即，，故与的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
6．答案：
解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.

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