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第一章 集合与常用逻辑用语
考点清单
学习目标整合
学习目标整合学习目标整合
集合 （1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用符号语言刻画集合 （2）了解全集与空集的含义，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （3）理解并集与交集的含义，能求集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，掌握集合间的混合运算. （4）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
常用逻辑用语 （1）理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，掌握性质定理与必要条件的关系，判定定理与充分条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系. （2）理解全称量词与存在量词的意义，能正确对全称量词与存在量词进行否定.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识易混易错
重难知识点讲解
1.集合中元素的三个特征：
（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.
（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
2.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
3.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：或.读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.
也就是说，若，且，则.
5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
6.并集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
7.交集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的交集等于空集.
8.充分条件与必要条件的定义：
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
9.充要条件的定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.如果，那么p与q互为充要条件.
10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.
存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假.
11.全称量词的否定：，的否定：，.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
12.存在量词的否定：，的否定：，.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
易混易错例题
1.若集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则p的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知集合，且，则( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
5.（多选）对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列选项正确的有( )
A.若，则 B.若，则
C. D.
6.已知命题p：，；命题q：，.若p，q都是假命题，则实数m的取值范围是______.
7.已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则m的取值范围是________________．
答案以及解析
1.答案：C
解析：，.故选C.
2.答案：A
解析：命题，的否定为，.故选A.
3.答案：A
解析：若，则，所以，所以，若，当，时，满足，但此时.所以是的充分不必要条件.故选A.
4.答案：D
解析：由题意：，得：或两种情况，若，则，此时，不满足互异性；若，则解得或，显然，符合题意，而当时，，不满足互异性.综上所述：.故选D.
5.答案：ACD
解析：若，则，故A正确.若，则，故B错误.，且，故C正确.和均表示如图所示的阴影部分，故D正确.
6.答案：
解析：命题p的否定，为真命题，当时恒成立，当时，可得，故.命题q的否命题，为真命题，所以，解得或，故范围是.
7.答案：
解析：因为是的充分不必要条件，所以，因为不等式的解集为，所以，所以，所以，
所以m的取值范围是.
核心素养对接高考
核心素养对接高考
核心素养
数学抽象、逻辑推理
真题对接
1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新课标Ⅱ卷]设集合，，若，则( )
A.2 B.1 C. D.-1
3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知命题，，命题，.则( )
A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题
C.p和都是真命题 D.和都是真命题
参考答案
1．答案：C
解析：因为或，所以，故选C.
2．答案：B
解析：依题意，有或.当时，解得，此时，，不满足；当时，解得，此时，，满足.所以，故选B.
3．答案：A
解析：方法一：因为，，所以，故选A.
方法二：因为，，，，，所以，，，，，所以，故选A.
4．答案：B
解析：法一：因为，，所以命题p为假命题，所以为真命题.因为，所以，所以，即，解得或或，所以，使得，所以命题q为真命题，所以为假命题，所以和q都是真命题，故选B.
法二：在命题p中，当时，，所以命题p为假命题，为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有，0，1，所以，使得，所以命题q为真命题，为假命题，所以和q都是真命题，故选B.

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