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3.8 三元一次方程组
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解三元一次方程，三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
2.经历解三元一次方程组的过程，进一步体会“消元”思想在解方程组中的应用。
3.通过对三元一次方程组的学习，激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生分析问题、解决问题的能力与探索精神。
学习重点：理解三元一次方程，三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组
学习难点：能解简单的三元一次方程组
预习自测
1.下列是三元一次方程组的是( )
A.
C.
2.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个关于x，y，z的三元一次方程，则a=　　　，b=　　　　.
3.解三元一次方程组若消掉未知数z，则下列变形正确的是(　　)
A.①+③，①×2-②　　　　
B.①+③，③×2+②
C.②-①，②-③　　　　
D.①-②，①×2-③
教学过程
一、问题提出、导入新课
1. 解二元一次方程组的基本思路。
2. 用二元一次方程解决实际问题的基本步骤。
二、合作交流、新知探究
探究一：三元一次方程、三元一次方程组
教材第135页
说一说：类比一元一次方程和二元一次方程的概念，请你给出三元一次方程和三元一次方程组的概念。
探究二：解三元一次方程组
教材第135页
做一做：已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12. 设个位数字为 x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
思考：解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
下面我们以为例来探索三元一次方程组的解法.
例1：解三元一次方程组：
例2 解三元一次方程组：
做一做：自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数，并将结果与同学进行对比.
三、自主检测
1.解方程组时，若用代入消元法，则第一步应把　　　　化为　　　　④，将④代入　　　　中，消去　　　，组成二元一次方程组；若用加减消元法，则第一步应算　　　，消去　　　　，与①组成二元一次方程组.
2.已知代数式ax2+bx+c，当x=0时，它的值为-7；当x=1时，它的值为-9；当x=5时，它的值为3，求a，b，c的值.
3.对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a，b，c为常数.已知3△5=15，7△3=-5，则5△4=　　　　.
4.已知方程组=　　　　.
5.【阅读理解】
在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.
例:已知求x+y+z的值.
解:①×2得6x+4y+2z=8③，
②-③得x+y+z=2，
∴x+y+z的值为2.
【类比迁移】
(1)已知求3x+4y+5z的值.
【实际应用】
马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问:比原价购买节省了多少钱
四、知识点总结
1.三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
2. 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程.
3.三元一次方程组的解：对于未知数为 x，y，z 的三元一次方程组，若 x，y，z 分别用数 ， ， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ， ， ）叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
三元一次方程组的解法：解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
答案
预习自测
1.【答案】B
【解析】A选项和C选项中都有四个未知数，D选项的第二个方程中含未知数的项的最高次数是2，所以A，C，D选项都不是三元一次方程组.故选B.
2.【答案】-1；0
【解析】由题意得a-1≠0，b+1=1，2-|a|=1，解得b=0，a=-1.
3.【答案】B
【解析】根据题意作答
自主检测
1.【答案】①；y=11-3x；②③；y；②-③；z
【解析】方程①中含有两个未知数，且y的系数简单，所以若用代入消元法，则应把方程①变形；方程②与③都含有未知数z，且z的系数简单，所以若用加减消元法，则先消去z，易转化为二元一次方程组.
2.【答案】见解析
【解析】由题意得
将c=-7代入另外两个方程中，得
解得所以a，b，c的值分别为1，-3，-7.
3.【答案】
【解析】②-①得m+2n=5，
①×2-②得m+n+k=6，则原式=.
4.【答案】5
【解析】∵3△5=15，7△3=-5，
∴3a+5b+c=15①，7a+3b+c=-5②，
①+②，得10a+8b+2c=10，∴5a+4b+c=5，
∴5△4=5a+4b+c=5.
5.【答案】见解析
【解析】(1)
①+②得6x+8y+10z=36，
则3x+4y+5z=18.
(2)设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元/本、y元/本、z元/本，
根据题意得40x+20y+4z=488，
∴80x+40y+8z=488×2=976，
∵976-732=244(元)，
∴比原价购买节省了244元
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