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(共29张PPT)
2.1 平方根
第2课时 无理数
第2章 实 数
学习目标
1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是
无理数.（重点）
2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值．
（难点）
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观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
正方形的面积为 8 cm2，
由于 22 = 4，32 = 9，
又 4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数.
思考：正方形的边长怎么表示呢？是个什么样的数呢？
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
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无理数的认识
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还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
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问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
追问2：a 可能是分数吗？
① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.
思 考
观察下列结果：
12 = 1， 22 = 4；
1.42 = 1.96 1.52 = 2.25
1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164
1 .414 =1.999396， 1.415 =2.002225;
1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449;
… …
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：由于12<2，2<22，所以1<<2.
由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，
1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
知识要点
事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
例如，，，π 是正无理数，
，，π 是负无理数.
类似于有理数分类，
无理数也分为正无理数和负无理数.
议一议
下面的说法正确吗 如果不正确，请说明理由.
(1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数；
(3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数.
答：(1) 不正确. 如 = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，属于无理数
(2) 正确.
(3) 不正确. 如 = 2 属于有理数.
(4) 不正确. 如 π.
练一练
1. 把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
（每两个3之间依次增加一个7）
（每两个3之间依次增加一个7）
我们常见的无理数的有以下三种形式：
(1) 化简后含有 π 的数；
(2) 开不尽方的数开方所得结果；
(3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）
……
总结归纳
例1 设 n 为正整数，且 n＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的平方数，问题可得到解决．
因为 ＜ ＜ ，
所以 8＜ ＜9，
所以 n＝8.
D
典例精析
方法总结：开不尽平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
练一练： 写出一个比－3大的无理数：_________.
问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
用计算器求算术平方根
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问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？
3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数.
知识要点
例2 用计算器求下列各式的值.
(1)
(2) （精确到小数点后面第三位）.
解：(1) 依次按键：
显示：32
所以
1
2
0
4
=
(2) 依次按键：
显示：2.828427125
所以
8
=
2.用计算器比较下面两数的大小：
(1)
(2)
解：(1)
3.236067978.
(2) 3.339148045.
练一练
总结归纳
由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a.
做一做
= a 成立吗？ 若不成立，请举例说明.
当 a≥0 时， = a 成立.
当 a＜0 时， = a 不成立.
→
无理数
化简后含有 π 的数
有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）
开不尽方的数开方所得结果
用计算器计算
↓
概念
…...
1. 下列各数： 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是有理数.
A
【解析】因为 3.14 是小数， 是分数， 是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数.
2. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C
(1) 有限小数是有理数. ( )
(2) 无限小数都是无理数. ( )
(3) 无理数都是无限小数. ( )
(4) 有理数是有限小数. ( )
3. 判断题：
╳
√
√
╳
4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为 25 的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为 8 的正方形
D.面积为 1.44 的正方形
C
用计算器计算 ：显示 2.4494897，
所以 .
5.用计算器求下列各式的值：
6. 面积为 6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器
求边长的近似值（精确到 0.001 cm）.
正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为 cm.
解：
解：
解：
7. 用计算器分别求 的近似值
(精确到0.001).
8. 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？
利用你发现的规律直接写出结果：
4···4442 3···3332
+
=
5···555.
5555.
=
2
2
3333
4444
+

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