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期末总复习效果检测--特殊三角形
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180° B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．相等的角是对顶角
2．等腰三角形的一个内角为40°，那么它的底角是（　　）
A．40°或70° B．70° C．40° D．100°
3．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
4．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝，则BF的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：
①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF； ④AE＝AF．
其中正确的有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
9．将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（　　）
A．S3＝S1+S2 B．3S3＝2S1+2S2 C．2S3＝3S2﹣S1 D．S3＝5S2﹣5S1
10．如图，以的边向两侧做等边与等边，连接交于点M，连接，①；②；③平分；④；则以上结论正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，中，边的垂直平分线交于点，已知，，，则的周长为___________
12.已知：如图，在中，，点在边上，若，，，则
13．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　 　秒．
14．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？
15.如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为_________________
16．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是________________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，高AE与CD相交于点O．若∠BAC＝70°，∠ACB＝60°．求：（1）∠B的度数；（2）∠AOD的度数．
18.（本题6分）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
19．（本题8分）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．(1)求证：； (2)若，求的长．
20．（本题8分）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．(1)求证：；(2)若，，试求的长．
21 .（本题10分）如图，在中，，，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．
22．（本题10分）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
23.（本题12分）如图，在中，于点，，点在上，，
连接．分别是的中点，连接．(1)求证：．
(2)求证：是等腰直角三角形．(3)若，，求的长．
24.（本题12分）如图，在和中，，，若，连接、交于点P；（1）求证∶．(2) 求的度数．(3) 如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
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期末总复习效果检测--特殊三角形答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：A．三角形三个内角的和等于180°锐，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形的对应角相等，所以B选项不符合题意；
C．等腰三角形的两个底角相等，所以C选项不符合题意；
D．相等的角不一定为对顶角，所以D选项符合题意．
故选择：D．
2.答案：A
解析：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选择：A．
3.答案：D
解析：A、因为，，
所以，所以是等腰三角形；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；
C、因为 ，所以，则，
所以是等腰三角形；
因为，，则，
那么， ，不能判定是等腰三角形．
故选择：D.
4.答案：D
解析：连接，

在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
5.答案：D
解析：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
6.答案：C
解析：如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°．
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠AEF＝60°，∠F＝30°，
∴∠BAE＝∠EAF＝90°，
∵∠B＝∠F＝30°，
∴BE＝EF，
∴BF＝2AF＝．
故选择：C．
7.答案：D
解析：过M作ME⊥AD于E，如图所示：
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴点M为BC的中点，故②正确；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正确；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，
∴S△ADM=S梯形ABCD，故④正确；
故选择：D．
8.答案：D
解析：∵平分,
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．
∵,平分，
∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故选择：D．
9.答案：D
解析：过P作PE⊥BC于E，如图：
∵∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，
∴PM＝＝3，
∵将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，
∴B与P关于直线MH对称，C与P关于直线NG对称，
∴∠CNG＝∠PNG，
∵AD∥BC，
∴∠CNG＝∠PGN，
∴∠PNG＝∠PGN，
∴PG＝PN＝4，
同理PH＝PM，
∵HG∥MN，
∴PE⊥HG，
∴S1＝＝，
S2＝PG PE＝×4×＝．
S3＝＝＝6，
∴A．S1+S2＝≠S3，故该选项不符合题意；
B.2S1+2S2＝≠3S3，故该选项不符合题意；
C.3S2﹣S1＝＝≠S3，故该选项不符合题意；
D.5S2﹣5S1＝24﹣18＝6，故该选项符合题意；
故选择：D．
10.答案：D
解析：∵和都为等边三角形，
在和中，，
∴
，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
作于于，如图所示：

∵
∴，
∴平分，故③正确；
，
∴，
在上截取，在上截取，
为等边三角形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴
∴，故④正确；
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：10
解析：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AC=AD+DB=AD+CD=7，
．
故答案为：10
12.答案：4
解：∵AB=AC,
∴∠B=∠C
在△ABD中，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE(AAS)，
∴AB=DC,BD=CE,，
∵AB=AC=12,
∴DC=12，
∴CD=3BD,
∴BD=4,
∴CE=BD=4
故答案为：4
13.答案：4
解析：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°，
∴∠CMA+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴BD＝AM＝12米，
∴BM＝20﹣12＝8（米），
∵该人的运动速度为2m/s，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．
故答案为4．
14.答案：或或．
和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，，，
当时，
，，
垂直平分，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
15.答案：
解析：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：
16.答案：①②④
解析：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ，∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)
=360°﹣(120°+120°)
=120°，
∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE=，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，
∵CP=CD=CQ，
∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，
∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=BC=2，即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小===，∴③错误；
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形，
∴④正确，
故答案为①②④．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵∠BAC＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°；
（2）∵∠ACB＝60°，CD是∠ACB的平分线，
∴，
∵高AE与CD相交于点O，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵∠AOD＝∠EOC（对顶角相等），
∴∠AOD＝∠EOC＝60°．
18.解析：（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°．
在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，
在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC2＝2DC2，
∴AD＝＝＝．
19.解析：（1）∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
（2）∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，且.
∴．
20.解析（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
．
21.解析：（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴△ABE与△CBF为直角三角形．
∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠ACF＝75°，
∴∠FCB＝30°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠EAB＝∠FCB＝30°，
∴∠EAC＝45°-30°=15°．
22.解析：（1）证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，

，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中
，
，
．
23.解析：（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24.解析：（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
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