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2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( )
A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面
2.若的展开式中第项的二项式系数最大，则不可能取值( )
A. B. C. D.
3.已知无穷等比数列，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.设为数列的前项和，为常数且，，有以下两个命题：
若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件；
若是等比数列，则是的充要条件，那么( )
A. 是真命题，是假命题 B. 、都是真命题
C. 是假命题，是真命题 D. 、都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.空间中，直线与平面所成角的范围为______．
6.表面积为的球的半径为______．
7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为______．
8.如果圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
9.满足等式的所有整数组成的集合为______．
10.展开式中项的系数为______用数字作答
11.已知数列的通项公式为，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是______．
12.设，，向量且，则______．
13.将本不同的书分给位同学，每人至少一本，不同的分法有______种
14.将一个棱长为的正方体切成个全等的小正方体，其表面积增加了______．
15.已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______．
16.从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，则存在且，，使得的取法种数为______用数字作答
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，已知点平面，且直线直线，点，与点，分别在平面的两侧，直线，直线求证：，，三点共线．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点．
求异面直线与的夹角；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知数列的前项和为，．
若数列为等差数列，，求数列的通项公式；
若数列为等比数列，，求满足时，正整数的最小值．
20.本小题分
如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．
为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面；
实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
如图，已知四面体中，平面，．
求证：；
九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度；
若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为试比较概率、、的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.平行、相交、异面
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.证明：直线与相交，可以唯一确定一个平面，设两直线确定的平面为，
又由平面且平面，所以，点两平面交线，
同理，点，，所以三点共线．
18.解：以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与直线的夹角为，则，，
故直线与直线的夹角为．
由知，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离为．
19.解：根据题意，设等差数列的公差为，
又由，，
则，
又，则，解得，
所以；
根据题意，设的公比为，
，，
则，解可得，
则，而，
若，则有，
化简得，
又由且，
则有，
的最小值为．
20.证明：四边形是等腰梯形，，，，
连接，，，
平面，平面，
平面．
解：平面，平面，，
，，，
，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，
设平面的法向量为，
，
令，，，，
设与平面所成角为，．
与平面所成角的正弦值为．
21.证明：因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接，
由知：，
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以，
故展开后，
所以彩带的最小长度为此平面图中长，
由余弦定理得：，
所以彩带的最小长度为；
条棱中任选条，共有种情况，
其中，，，，，
所以，
四个面任取两个面，共有种情况，
其中平面平面，平面平面，平面平面，
故，
任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况，
再从不在此面上的三条棱中选条，有种情况，故共有种情况，
其中满足垂直关系的有种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
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