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2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则下列结论中正确的有( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是( )
A. B.
C. D.
4.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数与指数函数且互为反函数，且过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题为真命题的是( )
A. 幂函数的图象过点，则
B. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则
C. 函数的零点是，
D. 函数的零点所在区间可以是
11.已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”下列说法正确的有( )
A. 函数是上的“衰减函数”
B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为
C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为
D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，则__________结果用和表示
13.“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
14.已知实数，满足，，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：函数在区间上没有零点；命题：，使得成立．
若和均为真命题，求实数的取值范围；
若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入万元，若景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本万元，景区门票价格为元人．
求该景区开业后的第一年的利润万元关于人数万人的函数解析式．
当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润是多少？
17.本小题分
在，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知__________，若函数为奇函数，且函数的零点在区间内，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数的定义域为，且，，都有成立．
求，的值，并判断的奇偶性．
已知函数，当时，．
判断在上的单调性；
若均有，求满足条件的最小的正整数．
19.本小题分
当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．
若正数，满足，当时，求的值；
除整数对，请再举出一个整数对满足；
若，求使得等式成立的正整数对
参考答案
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14.
15.解：函数在区间上单调递增，
若为真命题：在区间上没有零点，
或者，
得或；
若为真命题：令，有解，即，
故和均为真命题，则
所以，均为真命题，的范围为：或；
，一真一假，
若真，假，则，解得的取值范围是
若假，真，则，即，
的取值范围是或．
16.解：
即
当时，单调递增，万元．
当时，万元．
当时，，当且仅当时，等号成立．
综上，当该景区开业后的第一年接待游客万人时，获得的利润最大，最大利润为万元．
17.解：选；
是奇函数，
，得．
，经检验，满足题意，
易知在上是增函数，且，
有唯一零点，
函数的零点在区间内，
在上有解，
，即．
选；
是奇函数，
，
得，经检验，满足题意，
，易知在上是增函数，且，
有唯一零点，
函数的零点在区间内，
在上有解，
故．
选；
当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，
得，经检验，满足题意，
易知在上是增函数，且，
有唯一零点．
函数的零点在区间内，
在上有解，
，即．
18.解：令，得，解得，
令，得，故．
令，得，即，
又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数．
由，可得，
即．
，且，
有，
因为，所以，
从而，得，
因此在上单调递减．
因为，，所以是偶函数．
，而在上单调递减，
则有或，由题可知，只需考虑成立，
从而有．
因为，所以，则的最大值在处取到，
故只需．
综上，满足条件的最小的正整数．

19.解：，
，即，
．
解：，
所以整数对满足．
证明：，
，且，．
当时，，显然无解．
当时，，
可得，无正整数解，
同理，当和时，也无正整数解．
当，时，，
，由复合函数单调性可得，
又，当且仅当时，原等式成立，
即若，使得等式成立的正整数对仅．
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