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2024-2025学年北京市海淀区高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的零点所在区间为
A. B. C. D.
4.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
6.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
10.对于任意的，表示不超过的最大整数十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，下列说法错误的是( )
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域为
C. 对于任意的，，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.函数的定义域是______．
12.不等式的解集为______．
13.已知，，若，则的值为______．
14.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是______．
15.已知函数，其中，下列结论正确的是______．
存在实数，使得函数为奇函数
存在实数，使得函数为偶函数
当时，的单调增区间为，
当时，若方程有三个不等实根，则
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知全集，，，求，，．
17.本小题分
已知函数．
若，且，，求的最小值：
若，解关于的不等式．
18.本小题分
已知函数，．
证明：为奇函数．
判断在上的单调性，并证明你的结论．
解关于的不等式．
19.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
在区间上是单调的；
当定义域是时，的值域也是则称是函数的一个“黄金区间”．
请证明：函数不存在“黄金区间”．
已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.且
12.
13.或或
14.
15.
16.解：全集，，或，
，
或，
，
．
17.解：根据题意，函数．
若，即，变形可得，
则有．
当且仅当即时，等号成立，
故的最小值为；
，即，
分种情况讨论：
当时，不等式为，其解集为，
当时，不等式为
其中当，即时，其解集为，
当，即时，其解集为，
当，即时，其解集为，
当时，不等式的解集为或．
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或．
18.解：依题意，，
合的定义域关于原点对称，可得是奇函数；
在上为增函数．
即，，且，有，
根据，得，
因此，即，则有，
所以 在上为增函数；
由为奇函数且在上为增函数，
可得，即，可得，解得 ，
因此原不等式的解集为．
19.证明：由函数为上的增函数，
则有，
所以，即，无解，
所以函数不存在“黄金区间”．
解：记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数的值域为，
所以，
又其图象的对称轴为，
所以在上必为单调递增函数，
令，解得或，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”．
解：由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，
所以，或，，且在上为单调递增，
故，
即，为方程的两个同号的实数根，
即方程有两个同号的实数根，
注意到，
则只要，解得或，
由韦达定理可得，，，
所以，
其中或，
所以当时，取得最大值．
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