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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.若函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，( )
A. B. C. D.
6.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
7.若函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.关于的方程有负根的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列选项正确的是( )
A. 的范围为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.在同一平面直角坐标系中，函数：，：且图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.下列命题中正确的是( )
A. 函数，的值域是
B. 函数的值域是
C. 函数的值域是
D. 函数的值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在区间上的最大值为______．
13.已知函数的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为______．
14.设函数，则是______函数从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入，关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
；
．
16.本小题分
已知幂函数在上单调递增．
求解析式；
若在上的最小值为，求的值．
17.本小题分
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：可由公式求得，其中是常数为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
请你仅利用表中的一组数据，，求的值，并求出此时的解析式；
在室温环境下，王老师用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据的结果，王老师要等待多长时间？
参考数据：，，，是自然对数的底数
18.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
利用定义证明在上单调递增；
若存在实数，使得成立，求的范围．
19.本小题分
对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间上的“卷函数”．
判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由；
设是中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
若函数是区间上的“卷函数”，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.奇
15.解：，，
；
，，
，
则；
，，
，，
则，，
．
16.解：幂函数在上单调递增，
则，解得，
则；
由，对称轴为，
当时，，则，即；
当时，，
则，即舍去或舍去；
当时，，则，即．
综上所述，或．
17.解：由已知可得，，
由，，可得，
即，即，解得，
此时的解析式为．
令，即，
即，解得，
所以王老师大约等待．
18.解：因为函数为上的奇函数，
所以，即，
此时，则，满足题意，
所以．
证明：由知，，
任取，，且，则，，
则
，
所以，
所以在上单调递增．
由，
即，
因为函数在上单调递增，
所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则，
令，则
当时，，即，
所以的取值范围为．
19.解：函数为上的“卷函数”，理由如下：
对于函数，
当时，，且当或时，恒成立，
所以函数为上的“卷函数”．
由于，当且仅当，即时等号成立，
令，则，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以当时，的最小值为，
由题意，不等式对恒成立，
即不等式恒成立，
由知，当时，，且当或时，恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围为．
因为函数是区间上的“卷函数”，
则存在区间和常数，使得恒成立．
所以恒成立，即，
解得或，
当时，．
当时，，当时，，
此时，不是区间上的“卷函数”．
当时，，
当时，，当时，恒成立．
此时，是区间上的“卷函数”，符合题意．
综上所述，，，
所以．
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