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2024-2025学年甘肃省陇南一中高二（上）月考模拟数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，都是的子集，则图中的阴影部分表示( )
A. B. C. D.
2.已知正数、满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知 且，则等于( )
A. B. C. D.
5.函数是指数函数，则( )
A. B. C. D.
6.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
8.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆：的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
11.下列命题中不正确的是( )
A. 若、、、是空间任意四点，则有
B. 若，则、的长度相等而方向相同或相反
C. 是、共线的充分条件
D. 对空间任意一点与不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围是 ，若，则的范围为 ．
13.已知实数、，满足，则的取值范围是______．
14.设函数且，若，则的值等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式．
求，并求的最小值．
17.本小题分
已知点，点，圆：．
求过点的圆的切线方程；
求过点的圆的切线方程，并求出切线长．
18.本小题分
已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，，为的中点，为中点．
求证：直线平面；
求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知关于的不等式．
求不等式的解集；
若，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理可得：，
在中，，
整理可得：，
即，
即，
因为，
可得，而，
可得；
，，，
由正弦定理可得，
即，
可得，
，
所以．
即的面积为．
16.解：为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
．
时，的最小值为．
17.解：圆：的圆心坐标为，半径为；
由于点在圆上，
由于，
所以圆的切线的斜率，
故圆的切线方程为，
整理得；
当点在圆外，
当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，由于点到直线的距离，
满足题意，
故直线是圆的切线；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为；
即直线的方程为，
利用圆心到直线的距离，
解得；
故直线的方程为；
故圆的切线方程为或；
过点的圆的切线的长为．
18.解：法一取的中点为，连接，，
则，，且，分
则四边形为平行四边形，
则，平面平面平面分
延长交延长线于点，连接，
则即为平面与平面的交线，
由于，为的中点，为中点，，
，
，
，又，面，
，
则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．分
在中，
平面和平面所成的锐二面角的余弦值为分
法二 取中点为，连接，
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，分
则，，
设平面的法向量为，
则，即分
令，则，，即，所以，
故直线平面分
设平面的法向量，
则．
由于平面和平面所成二面角是锐二面角
所以其余弦值是．
分
19.解：关于的不等式可化为，
且不等式对应方程的两个实数根为和；
所以当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上知，时，
时，
时；
时，
由，得，
解得，
所以实数的取值范围是．
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