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2024-2025学年第一学期北师版八年级数学期末复习培优模拟卷（含解答）
一、选择题
1．4的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C
3. 如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，于，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5. 某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄 13 14 15 16
人数 1 3 4 2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，13 C．15，14 D．14，15
6．若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7 . “践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，
米乐说：“我比你多收集了7节废电池”
琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”
如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，
根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8 . 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，
两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论：
①一元一次方程的解为； ②；
③方程组的解为； ④四边形的面积为，
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；
另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，
则第2024次相遇点的坐标是（　　 ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣2，2） D．（1，2）
10 .甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11 .已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系为 ．
12 . 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．
如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），
则表示棋子“炮”的点的坐标为_______
13. 如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______
14 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，
与点B′重合，AE为折痕，则 ．
15 . 如图，四边形是长方形纸片，，
对折长方形纸片．使与重合，折痕为．
展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，
再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：
① ；
② ；
③ 是等边三角形；
④ P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．解方程组
(1)；
(2)．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3) 已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
19 . “感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，
现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析
（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级 86 85 b
八年级 86 a 88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
20 . 某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 45
B 50 70
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
21 . 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，
如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　y＝60x　；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
问题情境：
如图1，，，，求度数．
小明的思路是：
过作，如图2，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得的度数为　 　；请说明理由；
问题迁移：
如图3，，点在射线上运动，
当点在、两点之间运动时，，，
则、、之间有何数量关系？请说明理由；
在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），
请你直接写出、、间的数量关系．
23．综合与探究：
如图，已知直线l：过点．
求直线l的表达式．
(2) 若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C．
①求的面积；
②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的一半，
如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
好奇心强的小李同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，
富有热心肠的你帮小李同学直接写出点M的坐标．
24 .如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，
点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．
① 的度数为 °；
② 线段之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
2024-2025学年第一学期北师版八年级数学期末复习培优模拟卷（含解答）
一、选择题
1．4的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：4的算术平方根是，
故选：A．
2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意；
C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意；
D.，，故是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3. 如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【详解】解：∵在y轴上，
∴
解得，
∴点P的坐标是（0，-2）．
故选B．
4．如图，，于，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，根据两直线平行、同位角相等可得，根据垂直的定义可得，再根据三角形内角和为180度即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
5. 某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄 13 14 15 16
人数 1 3 4 2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，13 C．15，14 D．14，15
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义计算判断即可．
【详解】∵数据15出现的次数最多，为4次，
∴该组数据的众数是15；
∵该组共有1+3+4+2=10个数据，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数，
∵1+3＜5＜1+3+4，1+3＜6＜1+3+4，
∴第五个，第六个数据都在15这一组中，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数为=15，
故选A．
6．若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
7 . “践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，
米乐说：“我比你多收集了7节废电池”
琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”
如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，
根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池，
；
若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故选：A．
8 . 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，
两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论：
①一元一次方程的解为； ②；
③方程组的解为； ④四边形的面积为，
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程 (组)的关系，一次函数图象的性质，根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点，
∴一元一次方程的解为，，故正确；
由，解得，故错误；
∴一次函数为， ，
把代入得，，
∴，
∴，
∴方程组的解为，故正确；
∵一次函数为， ，
∴，，
∴四边形的面积，故正确；
∴正确的是，
故选：．
9 . 如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；
另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，
则第2024次相遇点的坐标是（　　 ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣2，2） D．（1，2）
【答案】A
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答.
【详解】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝AD＝1﹣（﹣2）＝3，即AB+BC＝5，
∴经过1秒钟时，P与Q在B（﹣1，1）处相遇，
接下来两个点走的路程为10的倍数时，两点相遇，
∵第二次相遇在CD的中点（0，﹣2），
第三次相遇在A（1，1），
第四次相遇在（﹣1，﹣1）
第五次相遇在（1，﹣1），
第六次相遇在B点（﹣1，1）
∴每五次相遇点重合一次，
∵2024÷5＝404…4，
即第2024次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即（﹣1，﹣1）.
故选：A
10 .甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可．
【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，
∴①正确；
∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
∴②正确；
设，
∴300=5m，
解得m=60，
∴；
设，
∴
解得，
∴；
∴
解得t=2.5，
∴2.5-1=1.5，
∴乙车出发后1.5小时追上甲车；
∴③错误；
当乙未出发时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲后面时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲前面时，，
解得t=；
当乙到大目的地，甲自己行走时，，
解得t=；
∴④错误；
故选B．
二、填空题
11 .已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据图象的性质来进行解答．根据k确定y的值随x的值增大而增大，再根据x的值进行比较．
【详解】解：∵，
∴y的值都随x的值增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
12 . 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．
如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），
则表示棋子“炮”的点的坐标为_______
【答案】
【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．
故答案为：
13. 如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______
【答案】
【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=50cm，小长方形的长+小长方形宽的4倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积．
【详解】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 则可列方程组
,解得，
则一个小长方形的面积=40cm×10cm=400cm2．
故答案为：
14 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，
与点B′重合，AE为折痕，则 ．
【答案】1.5
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵将△ABC折叠得△AB′E
∴AB′＝AB，B′E＝BE
∴B′C＝5－3＝2
设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x
在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2
∴（4－x）2＝x2＋22
解得
故答案为：1.5
15 . 如图，四边形是长方形纸片，，
对折长方形纸片．使与重合，折痕为．
展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，
再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：
①；
②；
③是等边三角形；
④P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．
其中正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①连接，易得是等边三角形，得到，进而得到，推出，从而得到；②根据所对的直角边是斜边的一半，求出；③由①即可得到是等边三角形；④点与点关于对称，，当三点共线时，的值最小为的长，过点作，交于点，交于点，此时最小，进行求解即可．
【详解】解：①连接，
∵对折长方形纸片．使与重合，折痕为，
∴，
∵过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；故①正确；
②∵，，
∴；故②错误；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故③正确；
④由题意，得：点与点关于对称，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
过点作，交于点，交于点，此时最小，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴的值最小为；故④正确；
综上：正确的是①③④；
故答案为：①③④．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】原式
17．解方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1），
得：，
解得．
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：③，
得：，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3) 已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析，4；
(2)（ 4，3）；
(3)（10，0）或（－6，0）．
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．
【详解】（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4 ×1×2 ×2×4 ×2×3＝4，
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（ 4，3）；
故答案为：（ 4，3）；
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2 8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
19 . “感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，
现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析
（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级 86 85 b
八年级 86 a 88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】(1)，，
(2)八年级，理由见解析
(3)150名
【分析】（1）八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得A等级有2名，C等级有3名，因此将成绩从小到大排列后，处于中间的两个成绩是84和88，根据中位数的计算方法即得答案；八年级10名学生的竞赛成绩中，C等级有3名，由此即可求得m的值；
（2）先比较两个年级的平均数，再比较它们的中位数和众数，即可得到答案；
（3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）由题意知八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有（名），C等级有（名），处于中间的两个成绩是84和88，故； 七年级10名学生的竞赛成绩中，众数；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级C有3名，．
故答案为：，，．
（2）（2）八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
（3）（3）（名），
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．
20 . 某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 45
B 50 70
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与A种服装数量的函数关系式，再根据A种服装数量的取值范围和一次函数的性质，可以计算出应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为多少元．
解：（1）设购进A种服装a件，B种服装b件，
，
解得，
答：购进A种服装75件，B种服装25件；
（2）设A种服装进货为x件，则B种服装进货为（100﹣x）件，总的利润为w元，
由题意可得：w＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x）＝﹣5x+2000，
∴w随x的增大而减小，
∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件，
∴50≤x≤100，
∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1750，100﹣x＝50，
答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，
此时利润为1750元．
21 . 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，
如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　y＝60x　；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；
（3）分情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）设货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得
5k1＝300，
解得k1＝60，
∴y＝60x，
即货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
解方程组，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）80÷60＝，即点B的坐标（，0），
∴轿车开始的速度为：（千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
22 .问题情境：
如图1，，，，求度数．
小明的思路是：
过作，如图2，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得的度数为　 　；请说明理由；
问题迁移：
如图3，，点在射线上运动，
当点在、两点之间运动时，，，
则、、之间有何数量关系？请说明理由；
在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），
请你直接写出、、间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；
（2），理由见解析；
（3）当在延长线时，；当在延长线时，；
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图2所示，
，
，
，，
，，
，，
．
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
23．综合与探究：
如图，已知直线l：过点．
求直线l的表达式．
(2) 若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C．
①求的面积；
②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的一半，
如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
好奇心强的小李同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，
富有热心肠的你帮小李同学直接写出点M的坐标．
【答案】(1)；
(2)①6；②存在，或；
(3)或
【分析】本题考查了两条直线平行或相交问题，应用的知识点有：待定系数法求解析式，三角形的面积等．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①联立方程求得C点的坐标，根据三角形面积公式求得即可；②根据已知设点P为，根据的面积是面积的一半列出方程式，解方程即可求得P的坐标．
（3）根据等腰直角三角形的性质求解即可，注意分两种情况．
【详解】（1）解：由题意得：
解得，
∴直线l的解析式为．
（2）解：∵，
令，则，
∴，
∵直线与x轴交于点B，
∴
联立方程组可得：，
解得，
∴，
∴．
②存在，
设，
由题意得，，
整理得，
∴或，
∴或．
（3）解：如图所示：
当时，
∴，
解得
∴，
当，
∴点在的中垂线上，
∴点的横坐标为1，
，
∴点的坐标为
综上所述，点的坐标为或
24 .如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，
点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．
① 的度数为 °；
② 线段之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①90；②
【分析】（1）通过证明，可得；
（2）由得，又由，可得；
（3）同（1）的方法可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：90；
②由知：，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
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