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河北省定州市第二中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与向量 = (2,0, 2)同向的单位向量为( )
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 1 1
A. ( , 0, ) B. ( , 0, ) C. ( , 0, ) D. (1,0, 1)
2 2 2 2 2 2
2.已知直线 2 1 = 0与直线 + ( + 1) + 4 = 0平行，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 0或 3
4 2
3.在数列{ }中，若 1 = ， +1 = 2 ，则下列数不是{ }中的项的是( ) 3
1
A. 2 B. 1 C. D. 3
2
4.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 2与圆 ： 2 + 2 6 8 + = 0恰有三条公切线，则 =( )
A. 15 B. 17 C. 21 D. 23
5.设 是等差数列{ }的前 项和，若 10 6 = 6，则 16 =( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 32
6.在三棱柱 1 1 1 中，已知 (1,0,1)， (0,1,1)， (0,2,0)，且 (2,2,4)为平面 1 1 1上一点，则三棱
柱 1 1 1 的高为( )
A. √ 3 B. 2√ 3 C. √ 6 D. 2√ 6
5
7.已知抛物线 = 2的焦点为 ， 为抛物线上一动点，点 (√ 3, )，记 到 轴的距离为 ，则 + | |的最
4
小值为( )
3 5 7 9
A. B. C. D.
4 4 4 4
8.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为正方体内一动点(包括表面)，若 = + + 1，
且0 ≤ ≤ ≤ 1，则 1的取值范围为( )
1 1
A. [ 1,1] B. [ , 1] C. [1,2] D. [ , 2]
4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若点 ( , 4)和点 ( 1 , 3)关于直线 ： + 3 = 0对称，则( )
A. = 0 B. = 1 C. = 1 D. = 1
2 2
10.已知 ， 分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点， 是 上位于第一象限内任意一点，
直线 ， 的斜率分别为 1， 2，若 的离心率为2，则下列说法正确的是( )
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A. | | + | |为定值 B. 的渐近线方程为 = ±√ 3
C. 1 2为定值 D. 1 + 2 > 2√ 3
5
11.已知数列{ }满足 +1 = 5 3 +1 1， 1 = ，设数列{ 13 }的前 项和为 ，前 项积为 ，则
下列说法正确的是( )
1
A. 数列{ }是等差数列 B. 数列{

}的最大项为 7
1
C. 使得 取得最小值的 为7 D. 有最小值，无最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.在四面体 中，空间的一个点 满足 = + + ，若 ， ， 、 四点共面，则 =
3
______．
√ 3
13.已知 > ，则关于 的不等式√ 4 2 ≥ ( 3) + √ 3的解集为______．
3
2 2
14.设 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 为 上一点.若 为坐标原点，| | = | 2|，且
△ 1 2的面积等于8，则 = ______， 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 的圆心在直线 = 3 + 1上，且点 (1,2)， ( 1,4)在 上．
(1)求圆 的标准方程；

(2)若倾斜角为 的直线 经过点 (0,4)，且 与圆 相交于 ， 两点，求| |．
4
16.(本小题15分)
已知过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，当直线 垂直于 轴时，| | = 4．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若| | = 6，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
记等差数列{ }的前 项和为 ， 3 + 4 = 14， 5 = 30．
(1)证明：数列{ 2 }是等差数列．
(2)若数列{ }满足 1 = 2 1，且 +1 = + ，求{ }的通项公式．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ⊥平面 ，∠ = ∠ = 60°， 为
的中点， 是线段 上一点．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2)是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理由．
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值．
19.(本小题17分)
′ = ,
在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ( , )，总存在一点 ( ′, ′)满足关系式 ：{ ( > 0, > 0)，
′ =
则称 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 ，使得圆 2 + 21 = 1变换为椭圆9
2 + 4 2 = 1．
1
2 ′ =
(2)在同一直角坐标系中，椭圆 + 2 = 1经平面直角坐标系中的伸缩变换 ：{ 2 得到曲线 ．
16 ′ = 3
( )求曲线 的方程；
( )已知 ( 2,0)， ( 2,3)，过点 的直线交 于 ， 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，证明：
线段 的中点为定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
3
13.【答案】[0,3]
14.【答案】2√ 2 [4,+∞)
15.【答案】解：(1)由题意设圆心 ( , 3 + 1, )，又因为点 ， 在圆 上，
所以| | = | |，即√ ( 1)2 + (3 + 1 2)2 = √ ( + 1)2 + (3 + 1 4)2，
解得 = 1，即 (1,4)，半径 = | | = √ 02 + 22 = 2，
所以圆 的方程为( 1)2 + ( 4)2 = 4；

(2)设倾斜角为 的直线 经过点 (0,4)，可得直线 的方程为 = + 4，
4
即 + 4 = 0，
|1 4+4| √ 2
可得圆心 到直线 的距离 = = ，
√ 2 2
1
所以弦长| | = 2√ 2 2 = 2√ 4 = √ 14．
2

16.【答案】解：(1)抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ( , 0)，
2

令 = ，解得 = ± ，
2
故| | = 2 = 4，解得 = 2，
故抛物线 的方程为 2 = 4 ；
(2)由题意可知，直线 的斜率存在，
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设直线 的方程为 = ( 1)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立{ 2 ，联立整理可得，
2 2 (2 2 + 4) + 2 = 0，
= 4
2
2 +4
由韦达定理可得， 1 + 2 = 2 ，

2
2 +4
故| | = 1 + 2 + = 2 + 2 = 6，解得 = ±√ 2，

故直线 的方程为 = ±√ 2( 1)，即√ 2 ± √ 2 = 0．
17.【答案】解：(1)证明：等差数列{ }的前 项和为 ，设公差为 ，
由 3 + 4 = 14， 5 = 30，
可得2 1 + 5 = 14，5 1 + 10 = 30，
解得 1 = = 2，
则 = 2 + 2( 1) = 2 ， =
2
+ ，
即有 2 = ，
可得数列{
2}是首项和公差均为1的等差数列；
(2)若数列{ }满足 1 = 2 1，且 +1 = + ，
可得 1 = 1， +1 = 2 ，
1
则 = 1 + ( 2 1) + ( 3 2)+. . . +( 1) = 1 + 2 + 4+. . . +2( 1) = 1 + ( 1)(2 + 2 2
2) = 2 + 1．
18.【答案】(1)证明：连接 ，
因为底面 是边长为2的菱形，且∠ = 60°，
所以△ 是等边三角形，
又 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
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在 △ 中，∠ = 60°， = 2，所以 = 2√ 3，
则 (0,0,2√ 3)， (2,0,0)， (1,√ 3, 0)， ( 1, √ 3, 0)， (1,0,0)，
所以 = ( 1, √ 3, 0)， = ( 2,0,2√ 3)， = ( 1,√ 3, 2√ 3)，
= + 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ √ ，
= 2 + 2√ 3 = 0
取 = √ 3，则 = = 1，所以 = (√ 3, 1,1)，
设 = = ( 1,√ 3, 2√ 3)， ∈ [0,1]，
则 = + = ( 1,0,2√ 3) + ( 1, √ 3, 2√ 3) = ( 1 , √ 3 , 2√ 3 2√ 3 )，
若 //平面 ，则
1
= √ 3( 1 ) + √ 3 + (2√ 3 2√ 3 ) = 0，解得 = ， 2
1
故存在点 满足题意，且 = = 2．
2
(3)解：由(2)知 = + = ( 2,0,2√ 3) + ( 1,√ 3, 2√ 3) = ( 2 , √ 3 , 2√ 3 2√ 3 )，
= + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 11 = ( , , )，则{ ，
1 = ( 2 ) + √ 3 + (2√ 3 2√ 3 ) = 0
取 = 1，则 = √ 3(1 )， = 1 ，所以 1 = (√ 3(1 ),1 , 1)，
易知平面 的一个法向量为 2 = (0,1,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
| 1 2 | |1 | 1 2 > | = = =
则 = |cos < ， | 1 | | 2 | 2 21 √ 3(1 ) +(1 ) +1×1 1√ 4+ ， 2
(1 )
当 = 0时， 取得最大值√ 5，
5
故平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为√ 5．
5
′ = ,
19.【答案】解：(1)将伸缩变换 1： {
1 ( 1 > 0, 1 > 0)代入9( ′)
2 + 4( ′)2 = 1中，
′ = 1
可得9( 1 )
2 + 4( 21 ) = 1，
因为 2 + 2 = 1，
所以9 21 = 1，4
2
1 = 1，
1 1
解得 1 = ， = ， 3 1 2
1
′ =
则所求的伸缩变换 1为{
3 ；
1
′ =
2
1
′ =
(2)( )因为 ：{ 2 ，
′ = 3
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2
2 2
2 ( ′) ( ′)代入 + = 1，整理得 + = 1，
16 4 9
2 2
所以曲线 的方程为 + = 1；
4 9
( )证明：易知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = ( + 2) + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( + 2) + 3
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(4 2 + 9) 2 + 8 (2 + 3) + 16( 2 + 3 ) = 0，
+ = 1
4 9
此时 = 64 2(2 + 3)2 64(4 2 + 9)( 2 + 3 ) = 1728 > 0，
解得 < 0，
2
8 (2 +3) 16( +3 )
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +9 4 +9
因为 ( 2,0)，

所以直线 的方程为 = 1 ( + 2)，
1+2
令 = 0，
2
解得 = 1 ，
1+2
2
即 (0, 1 )，
1+2
2
同理得 (0, 2 )，
2+2
2 1 2 + 2
1+2 2+2 [ 1+(2 +3)]( 2+2)+[ 2+(2 +3)]( +2)所以 = 1
2 ( 1+2)( 2+2)
2 1 2+(4 +3)( 1+ 2)+4(2 +3)=
1 2+2( 1+ 2)+4
2
32 ( +3 ) 8 (4 +3)(2 +3)
2 2 +4(2 +3)
= 4 +9 4 +9
108
2 = = 3．
16( +3 ) 16 (2 +3) 36
2 2 +4
4 +9 4 +9
故线段 的中点为定点，定点为(0,3)．
第 7 页，共 7 页

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