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北京市八一学校 2024-2025 学年高二（上）月考数学试卷（12 月份）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线√ 3 + 1 = 0的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.已知圆的一条直径的端点分别是 ( 1,0), (3, 4)，则该圆的方程为( )
A. ( + 1)2 + ( 2)2 = 8 B. ( 1)2 + ( + 2)2 = 32
C. ( + 1)2 + ( 2)2 = 32 D. ( 1)2 + ( + 2)2 = 8
3.两条平行线 1: 3 4 1 = 0与 2：6 8 7 = 0间的距离为( )
1 3 6
A. B. C. D. 1
2 5 5
4.在四面体 中， = , = 2 , = , = , = ，则 =( )
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2
A. + + B. + + C. + + D. +
2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3
5.已知向量 , 是平面 内两个不相等的非零向量，非零向量 在直线 上，则“ = 0，且 = 0”是“ ⊥
”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.两圆 2 + 2 4 + 2 + 1 = 0与 2 + 2 + 4 4 1 = 0的公切线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
7.已知点 ( 1,0)，且点 是圆 2 + 2 = 1上的动点，| | = √ 3，则直线 的方程为( )
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3
A. = √ 3 + √ 3或 = √ 3 √ 3 B. = + 或 =
3 3 3 3
C. = + 1或 = 1 D. = √ 2 + √ 2或 = √ 2 √ 2
8.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图
所示， ⊥平面 ，四边形 ， 均为等腰梯形， // // ， = = 8， = 16， 到
面 的距离为3，则这个羡除的体积是( )
A. 128 B. 120 C. 112 D. 104
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9.设直线 : 3 4 + = 0，圆 : ( 2)2 + 2 = 8，若在直线 上存在一点 ，使得过 的圆 的切线
, ( , 为切点)满足∠ = 90 ，则 的取值范围是( )
A. [ 18,6] B. [ 16,4] C. [ 26,14] D. [ 6,14]
10.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， , 分别为 1, 1 1的中点， 为正方体
1 1 1 1表面上的动点.下列叙述正确的是( )

A. 当点 在侧面 1 1 上运动时，直线 与平面 所成角的最大值为 2
B. 当点 为棱 1 1的中点时， //平面
C. 当点 时，满足 ⊥平面 的点 共有2个
√ 6
D. 当点 在棱 1上时，点 到平面 的距离的最小值为 6
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.若直线3( 1) + 2 + 3 = 0与直线 + + 1 = 0平行，则 = ．
12.以点(1,1)为圆心，且与直线 + = 4相切的圆的方程是 ．
13.若方程 2 + 2 + 2 + 1 = 0( ∈ )表示圆，则 的取值范围为 ．
14.在三棱锥 中， 、 、 两两垂直且长度均为6，定长为 ( < 4)的线段 的一个端点 在棱

上运动，另一个端点 在△ 内运动(含边界)，若线段 的中点 的轨迹的面积为 ，则 的值为 ．
2
15.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系 中，把到定点 1( , 0)、
2( , 0)距离之积等于
2( > 0)的点的轨迹称为双纽线 .已知点 ( 0, 0)是双纽线 上一点，下列说法中正
确的是 . (填上你认为所有正确的序号)
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①双纽线 关于原点 中心对称；
②双纽线 上满足| 1| = | 2|的点 只有1个；
③ ≤ 0 ≤ ；
④| |的最大值为√ 2 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知直线 1过点(2,4)，直线 2: = 2 ．
(1)若 1 ⊥ 2，求直线 1的一般式方程；
(2)若直线 1与 轴和直线 2围成的三角形的面积为4，求直线 1的一般式方程．
17.(本小题12分)
已知点 (2,0)及圆 : 2 + 2 6 + 4 + 4 = 0．
(1)设过点 的直线 1与圆 交于 , 两点，当 ⊥ 1时，求以 为直径的圆的方程；
(2)设直线 + 1 = 0与圆 交于 , 两点，是否存在实数 ，使得过点 (2,0)的直线 2垂直平分弦 ？若
存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
在如图所示的多面体中， ⊥平面 , ⊥平面 , ⊥ ，且 = = = 2 = 2, 是 的
中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)若点 为 的中点，求直线 与平面 所成的角的大小．
19.(本小题12分)
已知圆 的圆心在 轴的正半轴上，半径为2.且被直线 : 4 3 3 = 0截得的弦长为2√ 3．
(1)圆 的方程；
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(2)设 是直线 + + 4 = 0上动点，过点 作圆 的切线 ，切点为 ，证明：经过 ， ， 三点的圆必过
定点，并求所有定点坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】3
12.【答案】( 1)2 + ( 1)2 = 2
13.【答案】 > 1或 < 1，
14.【答案】2
15.【答案】①②④
16.【答案】(1)直线 2: = 2 的斜率为2，若 1 ⊥ 2，
1 1
则直线 1的斜率为 ，直线 2 1的方程为 4 =
( 2), + 2 10 = 0．
2
(2)点(2,4)在直线 2: = 2 上，
当直线 1的斜率为0时，直线 1的方程为 = 4，
此时直线 1与 轴和直线 2无法围成三角形，不符合题意．
当直线 1的斜率不存在时，直线 1的方程为 = 2，
1
此时围成三角形的面积为 × 2 × 4 = 4，符合题意．
2
当直线 1的斜率存在，且不为零时，设直线 1的方程为 4 = ( 2)，
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2 4
令 = 0，解得 = ，

1 2 4 2
所以 × | | × 4 = 4, | | = 1，
2
解得 = 1，此时直线 1的方程为 4 = 1 × ( 2) = 2, + 2 = 0．
综上所述，直线 1的方程为 2 = 0或 + 2 = 0．
17.【答案】(1)因为圆 : 2 + 2 6 + 4 + 4 = 0，即( 3)2 + ( + 2)2 = 9的圆心为 (3, 2)， = 3，
因为 ⊥ 21，又| | = √ (3 2) + 4 = √ 5，
所以| | = √ 2 | |2 = √ 9 5 = 2，
故以 为直径的圆的方程为( 2)2 + 2 = 4．
+ 1 = 0
(2)由{ 2 22 2 ，消去 ，整理得( + 1) + 6( 1) + 9 = 0， + 6 + 4 + 4 = 0
由于直线 + 1 = 0交圆 于 ， 两点，
故 = 36( 1)2 36( 2 + 1) > 0，即 2 > 0，解得 < 0，
则实数 的取值范围是( ∞, 0)，
假设符合条件的实数 存在，
由于 2垂直平分弦 ，故圆心 (3, 2)必在直线 2上，
2 1 1
所以 2的斜率 = = 2，所以 = = ，由于 ( ∞, 0)， 3 2 2 2
故不存在实数 ，使得过点 (2,0)的直线 2垂直平分弦 ．
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18.【答案】(1)证明：∵ = ， 是 的中点，
∴ ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ；
(2)以 为原点，分别以 ， 为 ， 轴，竖直向上为 轴，如图建立坐标系．
则 (0,0,0)， (0, √ 2, 0)， (√ 2, 0,0)， (√ 2, 0,2)， ( √ 2, 0,1)，
= ( √ 2, 0,1)， = (0,√ 2, 0)， = (0,0,2)， = ( √ 2,√ 2, 0)，
设平面 的一个法向量 = ( 1, 1, 1)，
√ 2 1 + 则{ 1
= 0
，取 1 = 1，解得： 1 = 0， 1 = √ 2，
√ 2 1 = 0
∴ = (1,0, √ 2)；
设平面 的一个法向量 = ( 2, 2, 2)，
2 +
则{ √ 2 √
2 2 = 0，取 = 1，解得： = 1， = 0，
2 = 0 2 2 22
∴ = (1,1,0)，
1 √ 6
cos , = = = ，
| || | √ 2×√ 3 6
√ 6
记平面 与平面 所成角为 ，则cos = ，
6
√ 6
所以平面 与平面 夹角的余值为 ．
6
√ 2 √ 2
(3) (0,0,0)， (0,√ 2, 0)， (√ 2, 0,2)， ( , , 1)，
2 2
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√ 2 √ 2 = ( , , 1)，设直线 与平面 所成的角为 ，
2 2
√ 2 √ 2
| | | ×1+ ×0+1×√ 2|
则sin = |cos
2 2 √ 3
, | = = = ，
| || | 2 2 2
√ √ 2 √ 2 2 + +12( ) ( ) √ 12+02+(√ 2)
2 2

所以直线 与平面 所成的角为 ．
3
|4 3|
19.【答案】解：(1)设圆 的圆心为( , 0)( > 0)，则圆心到直线 的距离 = ．
5
2
2 (4 3) 1由题意可得， + (√ 3)2 = 2，即 + 3 = 4，解得 = 2或 = (舍)．
25 2
∴圆 的方程为( 2)2 + 2 = 4；
(2)证明：∵ 是直线 + + 4 = 0上的点，∴ ( , 4)．
∵ 为圆的切线，∴ ⊥ ，即过 ， ， 三点的圆是以 为直径的圆．
设圆上任意一点 ( , )，则 = 0．
∵ = ( , + + 4)， = ( 2, )，
∴ = ( )( 2) + ( + + 4) = 0，
即 2 + 2 2 + 4 + ( + + 2) = 0．
2 + 2 2 + 4 = 0 = 1 = 2
故{ ，解得{ 或{ ．
+ + 2 = 0 = 3 = 0
因此经过 ， ， 三点的圆必过定点( 1, 3)和(2,0)．
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