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北京市海淀区理工大学附属中学 2024-2025 学年高二（上）月考数学试
卷（12 月份）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
2 2
1.双曲线 = 1的渐近线方程为( )
9 16
3 4 4 5
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
4 3 5 4
2.已知圆 1：
2 + 2 = 4，圆 2：
2 + 2 4 4 + 4 = 0，则两圆的公共弦所在直线的方程为( )
A. + + 2 = 0 B. + 2 = 0 C. + + 4 = 0 D. + 4 = 0
3.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， // ，则 //
C. 若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D. 若 // ， ⊥ ，则 ⊥
4.以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( )
A. 2 = 8 B. 2 = 8
C. 2 = 8 或 2 = 8 D. 2 = 8 或 2 = 8
5.“ = 0”是“直线 2 + 1 = 0与直线( 1) + 1 = 0平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知抛物线 2 = 12 的焦点为 ，点 在抛物线上，定点 (5,2)，则| | + | |的最小值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2
7.已知椭圆 : + 2 = 1，直线 : = + 3，则椭圆 上的点到直线 距离的最大值为( )
2
3 √ 3 2+√ 3 3+√ 3
A. B. C. D. √ 2
√ 2 √ 2 √ 2
8.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如
图所示的圆锥中， 为底面圆的直径， 为 中点，某同学用平行于母线 且过点 的平面去截圆锥，所
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得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高| | = 2，底面半径| | = 2，则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A. 2 B. √ 2 C. 2√ 2 D. 4
9.已知椭圆 1与双曲线 2有相同的焦点 1( 2√ 3, 0), 2(2√ 3, 0)，离心率分别为 1, 2，点 为椭圆 1与双曲
√ 3
线 2在第一象限的公共点，且∠ 1 2 = ，若 1 = ，则双曲线 2的方程为( ) 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
9 6 9 3 12 9 4 8
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题
加以解决，例如，与√ ( )2 + ( )2相关的代数问题，可以转化为点 ( , )与点 ( , )之间距离的几
何问题.若曲线 :√ ( + 1)2 + 2 +√ ( 1)2 + 2 = 2√ 2，且点 ， 分别在曲线 和圆： 2 + ( 2)2 = 8
上，则 ， 两点间的最大距离为( )
5 7
A. + 2√ 2 B. + 2√ 2 C. 3 + 2√ 2 D. 4 + 2√ 2
2 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.直线 经过点 (1, √ 3)且与直线√ 30垂直，则直线 的方程是 ．
12.已知点(1,2)在抛物线 : = 2上，则抛物线 的准线方程为 ．
2 2 1
13.双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线为 = ，则其离心率为 ． 2
2 2
14.过点 ( 1,1)作直线与椭圆 + = 1交于 , 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的斜率是 ．
4 2
2 2
15.造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左
右焦点分别为 1, 2，焦距为4，若动点 满足| 1|| 2| = 4，则动点 的轨迹 就是一个双纽线.下列说法
正确的是 ．
①轨迹 仅经过一个整点(即横 纵坐标都是整数的点)；
√ 3
②若点 位于椭圆 上，且∠ 1 2 = ，则 的离心率为 ； 2 3
③点 与原点 之间的距离不超过2√ 2；
④若直线 = 与曲线 有且仅有一个公共点，则 ≥ 1或 ≤ 1．
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题12分)
已知点(2, 3)在圆 : 2 + 2 8 + 6 + = 0上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
4
(2)过点 (1, 1)，斜率为 的直线 与圆 相交于 , 两点，求弦 的长．
3
17.(本小题12分)
2 2
曲线 : + = 1( ≠ 3且 ≠ 1)
3+ 1
(1)若曲线 表示双曲线，求 的取值范围；
(2)当 = 0，点 在曲线 上，且点 在第一象限， 1( 2,0), 2(2,0), 1 ⊥ 2，求点 的横坐标．
18.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点 与抛物线 2的焦点重合， 1的中心与 2的顶点重合.过 且与
4
轴垂直的直线交 1于 ， 两点，交 2于 ， 两点，且| | = | |. 3
(1)求 1的离心率；
(2)设 是 1与 2的公共点，若| | = 5，求 1与 2的标准方程．
19.(本小题12分)
2 2
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点为 1, 2, 为椭圆 上一动点，设
2
∠ 1 2 = ，当 = 时， 1 2面积取得最大值√ 3． 3
(1)求椭圆 的标准方程；

(2)过点 (0,2)的直线 与椭圆交于不同的两点 , ( 在 , 之间)，问 是否存在最值，若存在最值，请

求出；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 + √ 3 4 = 0
1
12.【答案】 =
8
√ 5 1
13.【答案】 / √ 5
2 2
1
14.【答案】 /0.5
2
15.【答案】①③④
16.【答案】解：(1) ∵点(2, 3)在圆 ： 2 + 2 8 + 6 + = 0上，
∴ 22 + ( 3)2 16 18 + = 0，
解得 = 21．
∴圆 的方程为( 4)2 + ( + 3)2 = 4，
∴圆心 坐标为(4, 3)，半径 = 2．
4
(2)依题意，直线 的方程为 + 1 = ( 1)，即4 + 3 1 = 0，
3
|16 9 1| 6
则圆心到直线 的距离为 = = ，
5
√ 42+32
6 16
∴ | | = 2√ 4 ( )2 = ．
5 5
2
17.【答案】(1)由曲线 : + = 1表示双曲线，得(3 + )( 1) < 0，解得 3 < < 1，
3+ 1
所以 的取值范围是 3 < < 1．
2
(2)当 = 0时，双曲线 ： 2 = 1，设点 (
3 0
, 0), 0 > 0, 0 > 0，
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由 1( 2,0), 2(2,0)，且 1 ⊥ 2，得| |
2
1 + |
2
2| = |
2
1 2| ，
2
则( + 2)2

0 +
2
0 + ( 0 2)
2 + 20 = 4
2，整理得 20 +
2 0
0 = 4，又
2
3 0
= 1，
15 √ 15
联立消去 0得
2
0 = ，解得 4 0
= ，
2
√ 15
所以点 的横坐标为 ．
2
2
2
18.【答案】解：(1) ∵ 为椭圆 1的右焦点，且 垂直 轴，∴ ( , 0)，| | = ，
设抛物线 2方程为
2 = 2 ( > 0)，
∵ 为抛物线 2的焦点，且 垂直 轴，

∴ ( , 0)，| | = 2 ，
2
4
∵ | | = | |， 1与 2的焦点重合， 3

= 2
∴ 2,
4 2
{ 2 = ×3
2
8
整理得4 = ，∴ 3 = 2 2，又因 2 = 2 2 ∴ 3 = 2 2 2 2，
3
1
设 1的离心率为 ，则2
2 + 3 2 = 0，解得 = 或 = 2(舍)，
2
1
故椭圆 1的离心率为 ； 2
(2)由(1)知 = 2 ， = √ 3 ， = 2 ，
2 2
∴ 1： + = 1， ：
2 = 4 ，
4 2 3 2 2
联立两曲线方程，消去 得3 2 + 16 12 2 = 0，
∴ (3 2 )( + 6 ) = 0，
2
∴ = 或 = 6 (舍)，
3
2 5
从而| | = + = = 5，解得 = 3，
3 3
2 2
所以 1与 2的标准方程分别为 + = 1，
2 = 12 ．
36 27
19.【答案】(1)当点 为椭圆的上顶点或者下顶点时， 1 2面积取得最大值，
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1 2
不妨取上顶点为 ，则∠ 1 = × = ， 2 3 3

所以tan∠ 1 = = √ 3，即 = √ 3 ，
1
又因为 1 2面积取得最大值为 × 2 × = = √ 3
2 = √ 3，
2
所以 = 1, = √ 3, = √ 2 + 2 = 2，
2
所以椭圆 的标准方程为 + 2 = 1．
4

(2)若直线 ⊥ 轴，则 , , , 四点共线， 无意义，

所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1), ( 2, 2)，
2 2
联立{ + = 14 ，消去 得 2 + 4( + 2)2 = 4，
= + 2
整理得(4 2 + 1) 2 + 16 + 12 = 0，
3
所以 = 256 2 48(4 2 + 1) > 0，即4 2 3 > 0，解得 2 > ，
4
16 12
又由韦达定理可得， 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ,
4 +1 4 +1
1
×| |×| |
因为 2
1
= 1
1
= | |，
×| |×| 2| 22
12
因为 = > 0，所以

1 2 2 =
1，
4 +1 2
2
16
( 2 2 2
( )
1+ 2) 1+ 2+2 1
2
2 1 22 1 64 1 64= = + + 2 = 4 +112 = × 2 = × 3 3 1， 1 2 1 2 2 1 2 4 +1 4+ 2
4 +1
2 3 1 4 1 16因为 > ，所以0 < 2 < ，所以4 < 4 +4 2 < ， 3 3

所以 1
2 1 64 16 1 2 10+ + 2 = ×
3 1
∈ (4, )，所以 + ∈ (2, )，
2 1 4+ 3 2 2 1
3


因为 在 , 之间，所以 1 ∈ (0,1)，设 = 1 ∈ (0,1)，
2 2
1 1 10
因为双勾函数 ( ) = + 在(0,1)单调递减，且 ( ) = , (1) = 2，
3 3
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1 10 1
所以由 1 + 2 = + ∈ (2, )可知， = 1 ∈ ( , 1)，
2 1 3 2 3
1
所以 = 1 ∈ ( , 1)，所以 不存在最值．
2 3
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