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湖南名校教育联盟·2025届高三12月大联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且，椭圆的离心率为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点包括端点，点在底面内运动包括边界，则下列说法正确的有( )
A. 存在唯一的，，使得
B. 存在唯一的，，使得
C. 若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为
D. 若为线段的中点，则的最小值为
11.在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ．
13.已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则 ．
14.如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，分别是角，，的对边，的面积C.
证明：
若为的平分线，交于点，且，，求的长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面．
作出点在平面的射影，并证明
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，直线，的斜率分别为，，且．
求椭圆的标准方程
若过的直线交于另一点，且由点，，，组成的以为一边的四边形的面积为，求的方程．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间
当时，恒成立，求实数的取值范围
关于的方程有两个不相等的正实数解，，且，求证：．
19.本小题分
某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品参与此活动的商品有积分的签字笔，积分的草稿本和积分的便利贴要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次花积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
假设梅菊同学充值积分，则该同学有多少种方式用完积分只写出答案，不用写过程
假设代仕同学有点积分，该同学用完点积分的方式种数记为，求表达式
设，记的前项和为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或写个即可
13.
14.
15.解：因为，化简得，
由正弦定理，得A.
又，
所以，整理得A.
又，为的内角，所以，即．
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在等腰三角形中，，
又，
，
化简得．
又，．，
代入，得，
解得或舍去，
，
在中，由余弦定理得，
．
16.解：在中，作，垂足为，点即为点在平面的射影．
下面证明平面，
因为四边形为等腰梯形，所以，
在，中，，
，
解得，．
又，，，．
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，．
又，，，平面，
平面．
连接点与的中点，则．
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
如图，以为原点，过点且平行于的方向为轴，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设平面的法向量为，易知，，
则取，则，，则．
设平面的法向量为，
易知，，
则取，则，，则．
，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．

17.解：由题可知，，，
点在椭圆上，且．
由
解得，，
故椭圆的标准方程为．
设点，若点在轴下方，则，
如图所示，则．
因为点，，，组成的四边形的面积为，
所以，解得，
代入椭圆方程得，
故点，
所以直线的方程为或．
若点在轴上方，则，，
如图所示，设点到直线的距离为，
则，
则，解得．
易知直线的方程为，
由，得或．
联立
得舍去或舍去，
联立，得
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或或．

18.解：，
令，得或，
令，得，
所以的单调递增区间为，，
单调递减区间为
当时，等价于，
设，则，
所以在上单调递减，所以．
当时，，
由可知，在上单调递减，在上单调递增，
由可知，在上单调递减，在上单调递增，
作出函数的大致图象，如图．
因为，所以，所以．
易知曲线在，处的切线分别为，，
设，，
所以，
设，，
则，所以在上单调递增，
因为，所以时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上恒成立，
设直线与直线交点的横坐标为，则，则，
则，所以．
同理可得，
所以，得证．

19.解：记用积分购买签字笔为，用积分购买草稿本为，用积分购买便利贴为，
由枚举可知，该同学用完积分的方式如下：，共有种．
对第一天使用积分购买的商品进行分类：
第一天买签字笔，使用积分，余下的积分在以后用完，种数为；
第一天买草稿本或便利贴，使用积分，余下的积分在以后用完，种数为，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以．
由题可知，
易知当时，．
当时，因为，
所以，
所以．
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