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辽宁省沈阳市第二十中学 2025 届高三上学期第三次模拟数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数 1、 2满足 1 + 2 = 1 2，若 1 = 1 ，则| 2| =( )
√ 2
A. B. 1 C. √ 2 D. 2√ 2
2

2.设 是数列{ }的前 项和，且 1 = 1，
5
= (2 + 1) +1，则 =( ) 11
1 2 3
A. B. C. 2 D.
2 3 4
3.在半径为2的圆 上任取三个不同的点 ， ， ，且| | = 2√ 2，则 的最大值是( )
A. √ 2 + 2 B. 2 + 2√ 2 C. 2√ 2 + 4 D. 4 + 4√ 2
32
4.已知正四棱台下底面边长为4√ 2，若内切球的体积为 ，则其外接球表面积是( )
3
A. 49 B. 56 C. 65 D. 130

5.已知数列{ }的前 项和为 ， = 2
cos ，则 16 =( ) 2
4 8 4 3 3A. × (4 1) B. × (47 1) C. × (48 1) D. × (47 1)
5 5 5 5
6.当 ∈ 时，将三项式( 2 + + 1) 展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
( 2 + + 1)0 = 1
( 2 + + 1)1 = 2 + + 1
( 2 + + 1)2 = 4 + 2 3 + 3 2 + 2 + 1
( 2 + + 1)3 = 6 + 3 5 + 6 4 + 7 3 + 6 2 + 3 + 1
( 2 + + 1)4 = 8 + 4 7 + 10 6 + 16 5 + 19 4 + 16 3 + 10 2 + 4 + 1
若在(1 + )( 2 + + 1)7的展开式中， 7的系数为 15，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
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7.已知 ( ) = ( ≥ 0)，若 ( )有两个零点，则实数 的取值范围为( )
1 1 1 1
A. (0, ) B. (0, 2) C. ( , +∞) D. [ 2 , +∞)

8.已知 > 2， > 0， > 0，当 > 0时，( √ )( + ) ≥ 0恒成立，则 3的最小值为( )
3 1 3 1
A. B. C. D.
27 27 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ 的内角 ， ， 的对边为 ， ， 则下列说法正确的是( )
A. > 0，则△ 是锐角三角形
B. 若cos2 + cos2 cos2 = 1，则△ 是直角三角形

C. 若 + < ，则 + < √ 2
2
D. 若 > 1，则 > 1
10.若实数 ， 满足 2 4 + 2 = 6，则( )
A. | | ≥ 2 B. | | ≤ 12 C. 2 + 2 ≥ 2 D. 2 + 2 ≤ 12
11.如图，在直棱柱 1 1 1 1中，底面 为菱形，且 = 1 = 2，
∠ = 60°， 为线段 1 1的中点， 为线段 1 1的中点，点 满足 = +
1 (0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1)，则下列说法正确的是( )
A. 若 = 1时，三棱锥 的体积为定值
1
B. 若 = 时，有且仅有一个点 ，使得 ⊥ 1 2
1
C. 若 + = ，则| | + | |的最小值为3
2
1 9√ 5+7√ 13
D. 若 = 0， = ，则平面 截该直棱柱所得截面周长为
2 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若命题“ ∈ ，都有 2 2 4 > 0”是假命题，则实数 的取值范围为______．
1
13.曲线 = 与曲线 = 2的公切线方程为______．
2
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2 3 2 3 1
14.已知函数 ( ) = ， ( ) = 的零点分别为 1， 2 2 2，且 1 > 2， 2 > 2，则 1 = 2 2
______；若 < 2 1恒成立，则整数 的最大值为______．
(参考数据： 2 ≈ 0.7， 3 ≈ 1.1， 7 ≈ 1.95， 17 ≈ 2.8. )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记 为等比数列{ }的前 项和，已知 = +1 1．
(1)求{ }的通项公式；
, 为奇数,
(2)设 = { 1 求数列{ , 为偶数,
}的前20项和 20．
2 2 +2
16.(本小题15分)
已知四棱柱 1 1 1 1中，底面 为梯形， // ， 1 ⊥平面 ， ⊥ ，其中 = 1 =
2， = = 1. ， 分别是线段 1 1和线段 1上的动点，且 1 = 1 1， = 1 (0 < < 1)．
(1)求证 1 //平面 1 ；
√ 11
(2)若 到平面 1 的距离为 ，求 1 的长度． 11
17.(本小题15分)
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本
周随机选取2人参加．
(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
(2)记参加活动的女教师人数为 ，求 的分布列及期望 ( )；
(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项
1 1
或2项的可能性均为 ，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为 ，每
2 2
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人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分
之和为 ，求 的期望 ( )．
18.(本小题17分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3 ．

(Ⅰ)若 = ， = ，求△ 的面积 ；
4
(Ⅱ)求证：2 2 2 2 = 2；
1
(Ⅲ)当 取最小值时，求 ．

19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = ln(1 ) + 2( ≠ 0)．
2
(1)证明：当 = 1时， ( )只有1个零点；
(2)当 < 0时，讨论 ( )的单调性；
1 1 ( ) ( )
(3)若 = 1，设 ( ) = ( ) 2，证明： > ≥ 0, > 1 2 ．
2 1 2 √ 1 2+ 1+ 2+1 1 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 4,0]
13.【答案】2 2√ √ = 0
14.【答案】2 6
15.【答案】解：(1)当 ≥ 2时， = 1 = ( +1 1) ( 1) = +1 ，
∴ +1 = 2 ( ≥ 2)，
∴等比数列{ }的公比 = 2．
当 = 1时，由 = +1 1得 1 = 2 1，即 1 = 2 1 1，解得 1 = 1，
所以 = 2
1．
(2)由题意得，当 为奇数时， 1 = = 2 ，
1 1 1
当 为偶数时， = ( )， 2 1 +1
10
∴ + + + + = 20 2 4 18
1×(1 4 ) 1
1 3 5 19 + 2 + 2 + 2 = = × (4
10 1)，
1 4 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
2 + 4 + 6 + + 20 = × [(1 ) + ( ) + ( ) + + ( )] = × (1 ) = ， 2 3 3 5 5 7 19 21 2 21 21
∴ 20 = 1 + 2 + 3 + + 20 = ( 1 + 3 + 5 + + 19) + ( 2 + 4 + 6 + + 20)
1 10
= (410
10 4 1
1) + = + ．
3 21 3 7
16.【答案】解：(1)证明：因为 1 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又 ⊥ ，
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所以 ， ， 1两两垂直，
以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图，
因为 = 1 = 2， = = 1，
则 1(0,1,2)， 1(1,1,2)， 1(2,0,2)， (1,1,0)， (0,1,0)，
所以 1 1 = (1, 1,0)，
因为 = 1 1 1 = (1, 1,0)，
所以 ( + 1, + 1,2)，
所以 1 = ( + 1, , 0)，
又 1 = (1, 1,2)， 1 = (0,0,2)， = 1 = (0,0,2)，
所以 (0,1,2 )， = ( 1,0,2 )，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
所以{ ，
1 = + 2 = 0
令 = 1，则 = (2 , 2 + 2,1)，
所以 1 = (2 , 2 + 2,1) ( + 1, , 0) = 2 ( + 1) (2 + 2) = 0，
所以 ⊥ 1 ，又 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ；
√ 11 | |
(2)若 到平面 1 的距离为
√ 11，则 = 1 ，
11 11 | |
又 1 = ( 1, + 1,0)，
2 2
√ 11 |2 2 2 2 +2 +2|
所以 =11 ，
√ 2 2 4 +4 +8 +4+1
整理可得12 2 32 + 13 = 0，
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1 13
解得 = 或 (舍去)，
2 6
3 1
所以 ( , , 2)，
2 2
所以 9 1 √ 10| 1 | = √ + + 0 = ． 4 4 2
17.【答案】解：(1)设“有女教师参加活动”为事件 ，“恰有一名女教师参加活动”为事件 ，
1 1 1 1 2
则 ( ) = 4
2 8 4 2+ = ， ( ) = 2
3
2 15 2
= ，
6 6 5
8
( ) 8
所以 ( | ) = = 153 = ． ( ) 9
5
2
(2)依题意知 服从超几何分布，且 ( = ) = 2 4 ( = 0,1,2)，
26
2 2 1 1 8 2 1
( = 0) = 42 = ， ( = 1) =
4 2
2 = ， ( = 2) =
2 = ，
6 5 6 15
2
6 15
所以 的分布列为：
0 1 2
2 8 1

515 15
2 8 1 2
( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
5 15 15 3
(3)设一名女教师参加活动可获得分数为 1，一名男教师参加活动可获得分数为 2，
则 1的所有可能取值为3，6， 2的所有可能取值为6，9，
1 1 1 9
( 1 = 3) = ( 1 = 6) = ， ( 1) = 3 × + 6 × = ， 2 2 2 2
1 1 1 15
( 2 = 6) = ( 2 = 9) = ， ( 2) = 6 × + 9 × = ， 2 2 2 2
有 名女教师参加活动，则男教师有2 名参加活动，
9 15
= + (2 ) = 15 3 ，
2 2
2
所以 ( ) = (15 3 ) = 15 3 ( ) = 15 3 × = 13．
3
即两个教师得分之和的期望为(13分)．

18.【答案】解：(Ⅰ)由题意， = 3 = 3 = 3，
4
3√ 10 tan +tan 3+1
则sin = , tan = tan( + ) = = = 2，
10 1 tan tan 1 3×1
3√ 10
2√ 5 2× 3√ 2
则 = ，所以 = = 2, = = 10 = ，
5 2√ 5 2
5
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1 1 3√ 2 √ 2 3
所以△ 的面积 = = × × 2 × = ；
2 2 2 2 2
(Ⅱ)证明：由 = 3 ，
3
可得 = ，即 = = ，
3 3
2
+ 2 2 2
( + 2 2)
由余弦定理得： 2 = = ，
2
2
+ 2 ( 2
2
+ 2) 3
2
化简得： 2 + 2 2 2 2 = 0，即2 2 2 2 = 2；
(Ⅲ)由 = 3 ，可得：
1
+ + 3 4 = tan( + ) = = = ，
1 11 tan
2 3
3
又 > 0，
1 tan2 3 3 3 3 3 3
所以 = = + ≥ 2√ = ，
4 4 4 4 4 2
1
当且仅当 = ，即 = 1时取等号，

1 1 1
此时 = = × 1 = ．
3 3 3
1
19.【答案】解：(1)证明：当 = 1时， ( ) = ln(1 ) + 2，函数定义域为( ∞,1)，
2
2 1 2 31 +1 ( ) +
可得 ′( ) = + = = 2 4 > 0恒成立，
1 1 1
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递增，
又 (0) = 0，
根据零点唯一性定理可知， ( )只有1个零点为0；
(2)因为 < 0，
1
所以函数 ( )的定义域为( , +∞)，

2 +
可得 ′( ) = + = ，
1 1
因为 < 0，
1
当 = 1 4 2 ≤ 0，即 ≤ 时， 2 + ≤ 0恒成立，
2
则 ′( ) ≤ 0，
1
所以函数 ( )在( , +∞)上单调递减；

1
当 = 1 4 2 > 0，即 < < 0时，
2
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2 1 √ 1 4
2 1+√ 1 4 2
方程 + = 0的两个根为 1 = , 2 2 = ， 2
1+√ 1 4 2 1 √ 1 4 2 1
因为 = > 0，且 1 > 2， 2 2
1 √ 1 4 2 1+√ 1 4 2 1
所以 1 = , 2 2
= 均在( , +∞)内，
2
1 1+√ 1 4 2
当 ∈ ( , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
2
1+√ 1 4 2 1 √ 1 4 2
当 ∈ ( , )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2 2
1 √ 1 4 2
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
1 1
综上，当 ≤ 时， ( )在( , +∞)单调递减，
2
1 1 1+√ 1 4 2 1+√ 1 4 2 1 √ 1 4 2 1 √ 1 4 2
当 < < 0时， ( )在( , )单调递减，( , )单调递增，( , +∞)单调递
2 2 2 2 2
减；
1
(3)证明：当 = 1时， ( ) = ( ) 2 = ln( + 1)，
2
因为 1 > 2 ≥ 0，
1 ( 1) ( )要证 > 2 ，
√ 1 2+ 1+ 2+1 1 2
需证( 1 + 1) ( 2 + 1) > [ln( 1 + 1) ln( 2 + 1)]√ 1 2 + 1 + 2 + 1，
2 2
( 1+1) 2( 1+1)( 2+1)+( 要证 2
+1) 1+1> (ln )2，
( 1+1)( 2+1) 2+1
1+1 +1 即证 2 + 2 > (ln 1
+1
)2，
2+1 1+1 2+1

设 = 1
+1
, > 1，
2+1
1
此时需证√ 2 + > ，

1
即证 > ，
√
1
设 ( ) = ，函数定义域为(1,+∞)，
√
2
(√ 1)
可得 ′( ) = > 0，
2 √
所以 ( )在(1,+∞)单调递增，
则 ( ) > (1) = 0．
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1
即 > ．
√
1 ( ) ( )
故 1 > 2 ≥ 0, >
1 2 ．
√ 1 2+ 1+ 2+1 1 2
第 10 页，共 10 页

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