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广西南宁市桂鼎学校 2025 届高三上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 1 ，则| | =( )
A. 1 B. 1 C. √ 2 D. 2
2.下列命题中真命题的个数是( )
① ∈ ， 2 ≤ 0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
③ ∈ { | 是无理数}，√ 是无理数．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知向量 ， 满足| | = 2| | = 2，且 ⊥ ( )，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. √ 2 D. √ 3
4.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田(种植环境相同)连续5次的产量如下：
甲/ 260 250 210 250 280
乙/ 220 260 230 250 290
则下列说法错误的是( )
A. 甲种水稻产量的众数为250
B. 乙种水稻产量的极差为70
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
5.如图，在圆 2 + 2 = 4上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．当
点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹方程为( )
2
A. + 2 = 1
4
2 2
B. + = 1
4 2
2 2
C. + = 1
4 3
2
D. + 2 = 1
2

6.已知函数 ( ) = 2 + 1， ∈ [ , 2 ]的图象与直线 = 有两个交点，则 的最大值为( )
6
√ 3
A. 1 B. 2 C. + 1 D. √ 3 + 1
2
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7.在直三棱柱 1 1 1中，已知 ⊥ ， 1 = = 5. 是 中点，则直线 1 与平面 所成角
的正切值为( )
1 1
A. B. 2 C. D. 3
2 3
8.若 + + = 4，3 + 2 = 0，则 的最大值为( )
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
6 6 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = 3 (2 ) + 1，下列结论中正确的是( )
4

A. 函数 ( )的周期是 B. 函数 ( )的图象关于直线 = 对称
8
7
C. 函数 ( )的最小值是 2 D. 函数 ( )的图象关于点( , 0)对称
8
10.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 上一点 到 和到 轴的距离分别为12和10，且点 位于第
一象限，以线段 为直径的圆记为 ，则下列说法正确的是( )
A. = 4
B. 的准线方程为 = 2
C. 圆 的标准方程为( 6)2 + ( 2√ 5)2 = 36
D. 若过点(0,2√ 5)，且与直线 ( 为坐标原点)平行的直线 与圆 相交于 ， 两点，则| | = 4√ 5
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 4，则( )
A. ( )的极小值为2
B. ( )有三个零点
C. 点(1,2)是曲线 = ( )的对称中心
D. 直线 = 3 + 5是曲线 = ( )的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 5 + 9 = 14， 2 = 3，则 8 = ．
13.某商场在过道上设有两排座位(每排4座)供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上
休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有______种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有
人坐，则不同的坐法有______种. (用数字作答)
sin( )cos(3 + )
14.已知角 终边上一点 ( 4,3)，求 的值______．
cos( )sin( + )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的对边，且2 = + 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = √ 3，求△ 周长取值范围．
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ， ∈ ．
(Ⅰ)若 ′(0) = 4，求 的值；
(Ⅱ)当 = 0时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(Ⅲ)若 ( )在 = 2时取得极值，求 的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，△ 是边长为2的正三角形，∠ = 60°．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若平面 ⊥平面 ，求二面角 的余弦值．
18.(本小题17分)
某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有 、 两类关键元素含量指标需要检测，设两元
3 8
素含量指标达标与否互不影响.若 元素指标达标的概率为 ， 元素指标达标的概率为 ，按质量检验规定：
4 9
两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，求 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4个，设 表示其中合格品的个数，求 分布列及 ( )．
19.(本小题17分)
已知在正项数列{ }中， 1 = 2，点 (√
2 2
, √ +1)在双曲线 = 1上.在数列{ }中，点( , )在直
1
线 = + 1上，其中 是数列{ }的前 项和． 2
(1)求数列{ }的通项公式并求出其前 项和 ；
(2)求证：数列{ }是等比数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】16
13.【答案】1680 672
3
14.【答案】
4
15.【答案】解：(1) ∵ 2 = + 2 ．
∴由正弦定理可得：2 = + 2 = 2 + 2 ，
∴可得： = 2 ，
1
∵ 为三角形内角， ≠ 0，解得 = ， ∈ (0, )，
2

∴ = ．
3

(2)因为 = ， = √ 3，
3
√ 3
利用正弦定理得： = = = = 2，
√ 3
2
所以 = 2 ， = 2
2
所以 + + = √ 3 + 2( + ) = √ 3 + 2( + sin( ))
3
√ 3 3
= √ 3 + 2( + ) = √ 3 + 2√ 3sin( + )，
2 2 6
2
因为△ 是锐角三角形，所以0 < < ， + = + > ，所以 < < ， + ∈ ( , )，sin( + ) ∈
2 3 2 6 2 6 3 3 6
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√ 3
( , 1]，
2

所以√ 3 + 2√ 3sin( + ) ∈ (3 + √ 3, 3√ 3].
6

16.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = ，定义域为( ∞, +∞)，
( ) 1 +
′( ) = 2 = ． ( )
∵ ′(0) = 4，∴ 1 + = 4．
解得 = 3．

(Ⅱ)当 = 0时， ( ) = ， (0) = 0，
1
∴ ′( ) =

．
∴ ′(0) = 1．
因此曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = ．
(Ⅲ) ∵ ( )在 = 2时取得极值，
∴ ′(2) = 0，即1 2 + = 0，
解得 = 1．
2
当 = 1时， ′( ) =

．
令 ′( ) > 0，即2 > 0，解得 < 2；令 ′( ) < 0，即2 < 0，解得 > 2．
∴函数 ( )在区间( ∞, 2)上单调递增，在区间(2, +∞)上单调递减．
∴ ( )在 = 2时取得极大值，符合题意．
因此 = 1．
17.【答案】解：(1)证明：如图，取 中点 ，连接 ， ， ，
∵底面 为菱形，∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形， // ，
又点 为 中点，∴ ⊥ ，
∵△ 是等边三角形，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ，∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ；
(2) ∵△ 是边长为2的正三角形，点 为 中点，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，∴ ⊥底面 ，
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∴以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建系如图，
则： (√ 3, 2,0)， (0,1,0)， (0,0, √ 3)，
∴ = (√ 3, 1,0) = (0, 1, √ 3)，
易知平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= √ 3 + = 0
则{ ，令 = 1，则 = √ 3， = 1，
= + √ 3 = 0
∴平面 的法向量为 = ( 1, √ 3, 1)，
√ 5
∴ cos < ， >= = ，又观察得二面角 为钝角，
| | | | 5
∴二面角 的余弦值为 √ 5 ．
5

18.【答案】解：(1)令 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则 是 ， 都不达标的
事件，
1 1 35
因此 ( ) = 1 ( ) = 1 × = ，
4 9 36
35
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为 ；
36
3 8 2
(2)依题意， ， 两类元素含量指标都达标的概率为 × = ，
4 9 3
2
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然 ～ (4, )，
3
1 1 2 1 8 2 1 8
则 ( = 0) = ( )4 = ， ( = 1) = 14 × × ( )
3 = ， ( = 2) = 24 × ( )
2 × ( )2 = ，
3 81 3 3 81 3 3 27
2 1 32 2 16
( = 3) = 34 × ( )
3 × = ， ( = 4) = ( )4 = ，
3 3 81 3 81
所以 的概率分布为：
0 1 2 3 4
1 8 8 32 16

81 81 27 81 81
1 8 8 32 16 8
则 ( ) = 0 + + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × = ．
81 81 27 81 81 3
19.【答案】(1)解：由已知点 在 2 2 = 1上知， +1 = 1．
∴数列{ }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．
(2+ +1) ( +3)
∴ = 1 + ( 1) = 2 + 1 = + 1， = = ． 2 2
1
(2)证明：∵点( , )在直线 = + 1上， 2
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1 1
∴ = + 1. ① ∴ 1 = 1 + 1( 2). ② 2 2
1 1
①②两式相减，得 = + 2 2 1
( 2)．
3 1 1
∴ = ，∴ = ．
2 2 1 3 1
1 2
由①，令 = 1，得 1 = 1 + 1，∴ 1 = ． 2 3
2 1
∴数列{ }是以 为首项， 为公比的等比数列． 3 3
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