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2024—2025学年度（上）七校11月高一联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．16 D．32
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，且，则（ ）
A． B． C． D．或
7．设，，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．有最小值为
8．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上是单调减函数 D．函数仅有一个零点
10．已知且，则（ ）
A． B． C． D．
11．对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“倒函数”
B．若函数在R上为“倒函数”，则
C．若函数在R上为“倒函数”，当，则
D．若函数在R上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调增函数，记，若，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.
12．已知函数，则 .
13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
14．已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过屋或演算步聚.
15．在①；②“”是“”的必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的司题中，并解答.
问题：已知集合，
(1)当时，求；
(2)若________，求实数的取值范围.
16．已知函数满足，其中且.
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的定义域；
(3)讨论的值域.
17．已知定义在上的函数与,满足如下两个条件:①为奇函数,为偶函数;②；
(1)求的解析式.
(2)设函数,若实数满足不等式,求实数的取值范围.
18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
19．已知（且）是上的奇函数，且.设.
(1)求，的值，并求的值域；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解 若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
答案
1．B
解析：因为，，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B.
2．C
解析：命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3．A
解析：由命题“，”为真命题
可得，恒成立，
即可得，则可推得，必要性成立
而推不出，充分性不成立，
，”为真命题的一个必要不充分条件是；
故选：A
4．C
解析：关于x的不等式的解集是，则,
则，，
不等式等价于，即，
解得或.
故选：C.
5．A
解析：令，定义域为R，
，所以函数为定义域内的奇函数，
函数和在R上都单调递增，则在R上单调递增，
则，则，即，
即，所以，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：A.
6．B
解析：由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增，
又，且，则，解得.
故选：B
7．D
解析：因为，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以有最小值为.
故选：D
8．C
解析：由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
9．AD
解析：对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，，
可得，解得，所以，
则，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，当时，，
因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，
又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确；
对于D中，由，且和是单调递增函数，
所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.
故选：AD.
10．ABD
解析：且，可知，，
又，则，A选项正确；
由，则，B选项正确；
，C选项错误；
，当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD
解析：对于A，对于，则，
所以，
则函数是“倒函数”，故A正确；
对于B，取，则，
所以，
此时在R上为“倒函数”，但，故B错误；
对于C，当时，则，所以，故C正确；
对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，
所以，
任取、且，则，所以，，
所以
，
所以函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数，
当时，即，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．3
解析：函数，则.
故答案为：3.
13．
解析：函数的定义域为，函数有意义，
则有，解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．
解析：根据题意，由为奇函数，得，
令得，即；令，得，
由为偶函数，得,令，得，
由，所以，
由，解得，
故时，，
由，当时，可得.
故答案为：.
15．(1)或；
(2).
解析：（1）当时，，由，得或，
所以或.
（2）选①，，则，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
选②，“”是“”的必要条件，则，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
选③，，得，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
16．(1)，其中且
(2)
(3)见解析
解析：（1）令，则
故，其中且
（2）当时，，则，
故，则，解得,解得，
故的定义域为
（3）由于，故
当时，故值域为，
当时，故值域为
17．(1),；
(2)；
解析：（1）在中,
用代替x得:
因为为奇函数,为偶函数.所以上式可化为，
将两式相减得:;相加得；
（2）由(1)的结果,知,
因为,所以,
①当,即时,=,
此时不等式即,解得或，
又,所以或.
②当即时,=,
此时不等式即,
又,
所以，
综上,实数的取值范围为．
18．(1)8小时
(2)1.6
解析：（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
19．(1)答案见解析
(2)存在，1，2或3
解析：（1）因为（且）是上的奇函数，且，
所以，解得，
则，
因为定义域为，，
所以是上的奇函数，故，
，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以
又时，，
所以，即的值域为；
（2）把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，
，为奇函数，
所以的图象关于对称，所以，，
所以
所以，即.
故存在正整数或3，使不等式有解.

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