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2024-2025学年安徽省阜阳三中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.角的终边与的终边关于轴对称，则( )
A. B.
C. D.
4.函数的定义域为，函数，则的定义域为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则关于的不等式解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
11.设，为正数，且且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象恒过定点______．
13.已知函数的值域是，则实数的取值范围是______．
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值．
；
．
16.本小题分
在；；这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，．
当时，求；
若_____，求实数的取值范围．
17.本小题分
某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内以天计的日销售价格元与时间天的函数关系近似满足为常数该商品的日销售量个与时间天部分数据如表所示：
天
个
已知第天该商品的日销售收入为元．
Ⅰ求出该函数和的解析式；
Ⅱ求该商品的日销售收入元的最小值．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数在区间上的值域；
若，求证：，并求的值；
令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质．
判断函数在上是否具有性质，并说明理由；
若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值．
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.原式
；
原式
．
16.解：集合或，
当时，，
所以，
所以．
由集合或和，
若选择：由或，得，
要使，则，解得，所以实数的取值范围是；
若选择：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围是；
若选择：由，可得，可得，解得，
所以实数的取值范围．
17.解：Ⅰ由题意可知，第天该商品的日销售收入为，解得，
所以，
由表格可知，，，
又，
所以，解得，
所以；
Ⅱ由Ⅰ可知，
所以
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为；
当时，单调递减，
所以当时，取得最小值．
综上所述，当时，取得最小值为，
故该商品的日销售收入的最小值为元．
18.解：，
当时，函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，
所以，函数的值域为．
证明：若，则，
，
设，
则，
两式相加：，
所以，
即，
则，
故．
，
设，当时，，
则函数等价于，
若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点，
即在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，，
设，则，则，
因为函数在区间上单调递增，且，，
当时，，所以，，
所以，实数的取值范围是．
19.解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，
因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质；
函数在区间的值域为，函数在上的值域为，
要使函数具有性质，只需，解得，即的取值范围为；
由题意的值域为，
因为，所以的对称轴，且开口向下，
所以的最大值为，又，，
当，即时，的值域为，要满足题意，只需，解得，，符合题意；
当，即时，的值域为，要满足题意，只需，解得，所以符合题意，
综上，的取值为，．
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