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2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）12月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等
2.已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则( )
A. B. C. D.
3.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为，且一个焦点的坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为“”，为“是等差数列”，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若直线：与圆：相离，则点( )
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 位置不确定
6.设为椭圆上一动点，，分别为椭圆的左、右焦点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设等差数列和的前项和分别为和，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知为抛物线：的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心若的最大值为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知直线的方程为，，，则下列结论正确的是( )
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
11.如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在，，使得
B. 不存在点，，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为______．
13.记数列的前项和为，已知且，，则 ______．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和如图为椭圆及其蒙日圆，的离心率为，点，，，分别为蒙日圆与坐标轴的交点，，，，分别与相切于点，，，，则四边形与四边形的面积的比值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为递增的等差数列，其前项和为，已知，且．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求使成立的的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形．为的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知是抛物线：的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为，．
求的方程；
过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为，求的方程．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别是，，是的右支上一点，的中点为，且为坐标原点，是的右顶点，，是上两点均与点不重合．
求的方程；
若，不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
若，不关于轴对称，且，证明：直线过定点．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量写出一个即可；
若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面：，平面：，求出点到平面的距离；
已知集合，，，，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值．
参考答案
1.
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7.
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10.
11.
12.
13.，
14.
15.解：为递增的等差数列，，且，
所以，
解得或舍，
故；
Ⅱ由Ⅰ可得，，
若，则，
解得，
故的最小值为．
16.解：证明：，
，
，
，
，
，
，，平面，
平面，
又平面，
．
四边形是矩形，，
平面，，平面，
，，
以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
．
设平面的法向量为，
则，则，
令，可得，，
平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：因为是抛物线上一点，
所以，
解得，
由抛物线的定义得，
因为，
所以，
则的方程为；
由知，，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
解得，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
即，
解得或舍去，
则直线的方程为．
即．
18.解：令，，连接．
因为是的中点，是的中点，
所以，
所以，那么．
又因为．
所以，
所以为．
证明：设，，且．
因为的中点为，所以，，
因为，是上的两点，所以，所以，
由，可得，所以，
所以，所以，
所以，直线与直线的斜率之积为定值．
证明：根据题干易知点，不关于轴对称，，
所以直线的斜率不为，令的方程为，
代入双曲线，化简得，
所以
根据韦达定理可得，
又因为，
所以
，所以舍去或，
所以直线过定点．
19.解：平面：的法向量为，
平面：的法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，取，得，
所以直线的一个方向向量为；
设平面：，
由平面经过点，点，点，
得，解得，即平面：，
又平面：，平面：，
记平面、、的法向量分别为：，
设平面、的交线的方向向量为，
则由，，可得，取，
依题意，，解得，
平面：，其法向量为，
在平面内取点，则，
故点到平面的距离为；
集合的子集，，，，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，由对称性知；
集合的子集，，，
构成的几何体是棱长为的正方体，
而，，，，
则为截去三棱锥后剩下的部分，
的体积，
三棱锥的体积为，
的体积为，
由对称性知．
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