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2024-2025学年吉林省长春市基础教育高二（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是两个实数，：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的值为( )
A. B. C. D. ．
5.已知集合，，集合，，集合，则以下元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在等腰梯形中，，，，，是线段上一点，且，动点在以为圆心，为半径的圆上，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为，若乙先着子，则乙胜的概率为，若采取三局两胜制无平局情况，第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数且则下列四个结论正确的是( )
A. 当时，存在，方程有唯一解
B. 当时，存在，方程有三个解
C. 对任意实数且，的值域为
D. 存在实数，使得在区间上单调递增
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，若，则( )
A. 当时，
B.
C. 函数是增函数
D. 函数的值域为
11.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C. 函数在区间上有个零点
D. 函数在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知函数，则不等式的解集是______．
13.已知函数是奇函数，则 ______．
14.如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，则的面积为，求，．
16.本小题分
已知幂函数的图象过点，．
求的解析式；
记，在区间上的值域分别为集合，，若是的必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了研究某种理财工具的使用情况，对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成组：，，，，，并整理得到频率分布直方图如图：
求直方图中的值；
采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取人，则三个组中各抽取多少人？
在中抽取的人中，随机抽取人，则这人都来自第三组的概率是多少？
18.本小题分
如图，多面体中，已知面是边长为的正方形，是等边三角形，，，平面平面．
求证：；
求二面角的大小．
参考答案
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14.
15.解：由，
根据正弦定理，化简得，
因为，
所以，即．
在中，，可得，即，
所以，结合，可得，即；
根据题意，的面积，即，解得，
由余弦定理，可得，结合，整理得，
由组成方程组，解得，或，．
16.解：设幂函数，；
由的图象过点，，解得，
所以；
因为在上的值域为，
函数在区间上的值域为，
若是的必要条件，则是的子集，
即，解得，
所以实数的取值范围是
17.解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得；
由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为：：，
所以三个组依次抽取的人数为，，；
记第二组两人分别为，，第三组四人分别为，，，，第四组两人分别为，，
则样本空间，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，共个样本点，
都来自第三组的为：，，，，，，共个样本点，
故其概率为．
18.解：证明：由是正方形，得，
而平面平面，平面平面，
平面，则平面，
又平面，于是，
又，所以．
在平面内过作，由平面平面，平面平面，
得平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
而平面的法向量为，
设二面角的平面角为，显然为锐角，
于是，，则，
所以二面角的大小．
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