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2024-2025学年河北省保定市定州二中高二（上）联考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与向量同向的单位向量为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与直线平行，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.在数列中，若，，则下列数不是中的项的是( )
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆：恰有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
5.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱柱中，已知，，，且为平面上一点，则三棱柱的高为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，点，记到轴的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，为正方体内一动点包括表面，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若点和点关于直线：对称，则( )
A. B. C. D.
10.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为，则下列说法正确的是( )
A. 为定值 B. 的渐近线方程为
C. 为定值 D.
11.已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是( )
A. 数列是等差数列 B. 数列的最大项为
C. 使得取得最小值的为 D. 有最小值，无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四面体中，空间的一个点满足，若，，、四点共面，则 ______．
13.已知，则关于的不等式的解集为______．
14.设，是椭圆：的两个焦点，为上一点若为坐标原点，，且的面积等于，则 ______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且点，在上．
求圆的标准方程；
若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于，两点，求．
16.本小题分
已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线的方程；
若，求直线的方程．
17.本小题分
记等差数列的前项和为，，．
证明：数列是等差数列．
若数列满足，且，求的通项公式．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点．
证明：平面平面．
是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换．
在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆．
在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换：得到曲线．
求曲线的方程；
已知，，过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
参考答案
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15.解：由题意设圆心，又因为点，在圆上，
所以，即，
解得，即，半径，
所以圆的方程为；
设倾斜角为的直线经过点，可得直线的方程为，
即，
可得圆心到直线的距离，
所以弦长．
16.解：抛物线：的焦点为，
令，解得，
故，解得，
故抛物线的方程为；
由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
设，，
联立，联立整理可得，，
由韦达定理可得，，
故，解得，
故直线的方程为，即．
17.解：证明：等差数列的前项和为，设公差为，
由，，
可得，，
解得，
则，，
即有，
可得数列是首项和公差均为的等差数列；
若数列满足，且，
可得，，
则．
18.证明：连接，
因为底面是边长为的菱形，且，
所以是等边三角形，
又为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以，
又，、平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：取的中点，连接，则，，
因为平面，，平面，所以，，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，，，所以，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
设，，
则，
若平面，则，解得，
故存在点满足题意，且．
解：由知，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，，
当时，取得最大值，
故平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
19.解：将伸缩变换代入中，
可得，
因为，
所以，，
解得，，
则所求的伸缩变换为；
因为：，
代入，整理得，
所以曲线的方程为；
证明：易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以直线的方程为，
令，
解得，
即，
同理得，
所以
．
故线段的中点为定点，定点为．
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