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2024级高一学年上学期期中考试
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修第一册第一章至第四章4.3对数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ）
A．4 B．2 C． D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．的最小值为9
11．已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．若对任意的，都有，则实数的取值范围是
D．若，则有8个互不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．命题“”的否定是 .
13．已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 .
14．已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，（），则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数为幂函数，且在上单调递增.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知集合或，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.
18．某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求的值；
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
19．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”.
(1)函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由；
(2)已知函数.
①函数是在区间上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值.
答案
1．D
解析：依题意，，
所以.
故选：D
2．A
解析：由题知，解得，
所以定义域为.
故选：A.
3．C
解析：由，得，又，
所以.
故选：C
4．B
解析：由题知函数的定义域为，，
所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确.
故选：B
5．C
解析：当时，对有，不满足条件；
当时，对任意均有，满足条件；
当时，对有，不满足条件.
所以的取值范围是.
故选：C.
6．B
解析：若“，”为真命题，则，又函数的图像开口向上，对称轴为，所以时，，所以.
故选：B
7．A
解析：由题知，解得.
故选：A.
8．D
解析：解：因为函数是上的奇函数，所以.
又对任意，都有成立，
令，得，即，
所以，则，
所以，则，
故，
所以.
故选：D
9．AB
解析：因为，所以，所以，A正确；
因为，所以，，所以，即，B正确；
取，，此时，C错误；
取，，，此时，，，D错误.
故选：AB
10．ACD
解析：对于A，由题知，的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；
对于B，C，D，令，则当时，，当且仅当时取最小值2，
易证当时，为增函数，当时，为减函数，
又函数为增函数，由复合函数的单调性可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，最小值为，
又函数为偶函数，所以在上单调递增，最小值为9，故B错误，C，D正确，
故选：ACD.
11．AC
解析：函数的定义域为，满足，
即，所以，故A正确；
当时，，
则，故B错误；
将函数在上的图象每次向右平移2个单位长度，
再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在，，……上的图象，
同理将函数在上的图象每次向左平移2个单位长度，
再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象，
作出函数的图象，如图所示，
因为当时，，
所以当，，
则，
则，
令，即，解得，，
又因为对任意的，都有，
结合图象可得，C正确；
因为，易知在，上单调递减，
作出函数和的图象，由此可得两函数有7个交点，
所以有有7个互不相等的实数根，故D错误.
故选：AC.
12．
解析：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：“”.
故答案为：.
13．12
解析：函数的图像过定点，所以，，即，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故答案为：12
14．
解析：由，得或，
所以，，所以.
由，或，
所以，，所以，
所以.
令，易知在上单调递增；
所以当时，所以，即的最小值为.
故答案为：
15．(1)3
(2)
解析：（1）因为为幂函数，且在上单调递增，
所以解得.
（2）由（1）知函数，为奇函数且在上单调递增，
由，得，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
16．(1)或
(2)
解析：（1）当时，或，
所以或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
令，解得或，
当时，，所以集合或，
因为是的真子集，所以等号不同时取得，解得，所以；
当时，集合，满足是的真子集；
当时，，所以集合或，
因为是真子集，所以，等号不同时取得，解得，所以，
综上，实数的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：设，
则，
因为，所以，，，
所以，
所以函数在区间上单调递增，
（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，
所以当时，，
则问题转化为，当时，恒成立
又函数在上单调递减，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围为
18．(1)1
(2)
(3)年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元
解析：（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（3）由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
19．(1)和是在区间上的“美好函数”，理由见解析
(2)①；②
解析：（1）因为函数在区间上单调递减，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”；
因为函数在区间上单调递增，所以，，
所以，故不是在区间上的“美好函数”；
因为在区间上单调递增，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”.
（2）①有题知.
因为，所以.
令，则，
当时，函数在区间上单调递增，
此时，，所以有；
当时，函数在区间上单调递减，
此时，，所以有
综上所述，；
②由题可知，函数.
因为，所以.
令，则，.
可知此时，函数的对称轴为且开口向上
当，即时，函数在上单调递减，
此时，，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，整理得，无解；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，故此时，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，解得（舍去）；
当，即时，函数在上单调递增，
此时，，
因为函数是在上的“美好函数”，
所以有，解得.
综上所述：.

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