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期末综合测试卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(本题共12个小题，每小题3分，共36分，下列每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的)
1.对于分式 下列说法不正确的是 ( )
A. x=0时,分式值为0 B. x=3时,分式无意义
C. x＜0时，分式值为负数 D. x＞3时，分式的值为正数
2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
3.若从多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则这个多边形的对角线共有 ( )
A.6条 B.9条 C.12条 D.18条
4.小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”,已知底边AB上的高CD 为5cm,沿CD方向向下平移3cm到△A B C 的位置，再经过相同的平移到△A B C 的位置，下方树干 EF长为6cm，则树的高度CF 长为 ( )
A.19 cm B.17 cm C.15 cm D.11 cm
5.某科普小组有5名成员,身高分别为(单位: cm):160,165,170,163,167.增加1名身高为165 cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A.平均数和中位数不变，方差变小 B.平均数和中位数不变，方差变大
C.平均数不变，中位数和方差变小 D.平均数变小，中位数和方差不变
6.下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是 ( )
① ② ③ ④ ⑤
A.40分 B.60分 C.80分 D.100分
7.如图,CD是△ABC的中线,E,F分别是AC,DC的中点,EF=3,则 BD 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵.可列方程为 ( )
9.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.爱我中华 B.我游中华 C.中华美 D.我爱美
10.若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤2，且关于 y的分式方程 的解是非负数，则所有满足条件的整数a的值的和是 ( )
A. 9 B. 11 C. 12 D. 14
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D,E,F分别在AC;AB,BC上,连接BD,DE,DF, ∠DBC=30°,BE=BF,当DE+DF最小时,∠DFB= ( )
A. 75° B. 82.5° C. 90° D. 97.5°
第11题图 第12题图
12.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E 是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE 交AB 于点F,P是EB 延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF ②CF 平分∠DCB ③BF=BE ④PF=PC.其中正确结论的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共8个小题，每小题3分，共24分)
13.式子 有意义的条件是_____________.
14.已知一个样本1，3，2，5，4，则这个样本的标准差为____________.
15.在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________米.
16.若关于x的多项式 可以分解为(x+2)(x=1),则常数m=__________.
17.已知 则 的值是__________.
18.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是____________.
19.在平面直角坐标系中,A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),要使点A,B,C，D形成的四边形为平行四边形，则顶点 C 的坐标是_____________.
20.如图,等边△ABO的边长为4,点O为坐标原点,点A在x轴上,△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A B O，翻滚 2024次后AB中点M坐标为___________.
三、解答题(本大题共8个小题，共60分，要写出必要的解答过程或推理步骤)
21.(6分)解方程:
22.(6分)(1)因式分解:
(2)先化简，再求值： 且a 的值满足
23.(6分)如图，△ABC在平面直角坐标系中，根据要求作答.
(1)请画出△ABC关于原点O 对称的△A B C ;
(2)请画出△ABC绕点B 逆时针旋转90°后的△A BC ,并写出 C 坐标.
24.(8分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E为OA 的中点, 连接DE 并延长至点F,使得EF=DE,连接AF,BF.求证:四边形 AFBO为平行四边形.
25.(8分)网约车给人们的出行带来了便利.数学兴趣小组的同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况(单位：千元)：
A公司司机:4,5,9,10,4,5,5,5,4,9
B公司司机:4,5,7,8,6,7,6,5,6,6
整理数据，画出统计表和统计图.
A公司网约车司机收入频数分布表
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数(人) 3 4 2 1
B公司网约车司机收入扇形统计图
根据以上信息，分析数据如表：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
A公司 a 5 5 5
B公司 6 b 6 1.2
根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空:
(2)请求出扇形统计图中圆心角 n的度数；
(3)小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司.
26.(8分)如图所示，点O是等边 内的任一点,连接OA,OB,OC, 将 绕点C 按顺时针方向旋转 得
(1)求 的度数；
(2)用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明.
27.(8分)甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m.甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min.求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远.
28.(10分)在 中，点D 为边 BC的中点，过点A 的动直线可绕点A 旋转，分别过点B，C，D作直线 的垂线，垂足分别为点 E，F，G.
(1)当直线经过点C 时，如图1，写出线段BE与DG之间的数量关系，并给出证明；
(2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段 BE，CF，DG之间分别有怎样的数量关系 写出你的结论，并给出证明.
参考答案
1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. A 7. D 8. A 9. A 10. B
11. B 解析:∵AB=AC,∠A=90°,∴∠ABC=45°,
∵BE=BF,∴将△BED 绕点 B 旋转45°,得到
∴DE=D'F,BD=BD',∠DBD'=45°,∴DF+DE=DF+D'F≥DD',
∴当D,F,D'三点共线时,DE+DF最小,如图,
∵BD=BD',∠DBD'=45°,
∴∠DFB=180°-∠DBC-∠BDD'=180°-30°-67.5°=82.5°.
12. C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠CEB=∠FBE,
∵BC=EC,∴∠CEB=∠CBE,∴∠CBE=∠FBE,即BE平分∠CBF,故①正确；
设BE与CF 相交于点G,
∵CF⊥BE,∴∠BGF=∠BGC=90°,∴∠BFC=∠BCF,
∵CD∥AB,∴∠BFC=∠DCF,∴∠BCF=∠DCF,即CF平分∠DCB,故②正确；
取∠ABC = 140°,则∠FBE =∠CBE =
∴∠CBE≠∠BCE,∴BE≠BC,
∵∠BFC=∠BCF,∴BF=BC,∴BF≠BE,故③错误;
∵BF=BC,CF⊥BE,∴FG=CG,∴PF=PC,故④正确;
综上所述，正确结论的个数为3个.
13. x≠1且x≠-2 14. 15.300 16.1 18. m≤5且m≠3
19.(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
20.(8094,0) 解析:如图,把△ABO 经3次翻滚后，点B落到点 B 处，点M 经过点 N，点H 落到点M'处,点A 落到点 K 处,作 x轴于点E，
则
∴OE=2×4+2=10, ∴M'(9, ).
由图象，得翻滚三次为一个循环，
∵2024=3×674……2,∴翻滚2024次后AB中点M 的纵坐标与点H 的纵坐标相同,横坐标为674×12+6=8094,∴翻滚 2024次后AB中点M 的坐标为(8094,0).
21.解:(1)方程两边乘(x-3)(x-1),得x(x-1)=(x+1)(x-3),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x-3)(x-1)≠0,∴原分式方程的解为x=-3；
(2)原方程可化为
方程两边乘(x+2)(x-2) ,得16+(x+2)(x-2)=(2+x)(x+2),解得x=2,
检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0,∴x=2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解.
22.解:(1)原式
(2)原式
∵a的值满足 ∴原式
23.解:(1)如图, 即为所求作；
(2)如图所示。 即为所求作； 的坐标为(-1,4).
24.证明:∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∴BO=DO,
又∵E为OA 的中点,∴OE 为△DFB的中位线,∴OE∥BF,BF=2OE,
∴OA=BF,OA∥BF,∴四边形为 AFBO平行四边形.
25.解:(1)“A 公司”的平均月收入 a =
“B公司”网约车司机收入由小到大排序为4,5,5,6,6,6,6,7,7,8,中位数
“B公司”网约车司机月收入中， “6千元”对应的百分比为4÷10=40%,
故答案为:6,6,40;
(2)“B公司”网约车司机收入7000元人数为2人，故圆心角n的度数为
(3)选“B公司”,理由如下:
因为平均数一样， “B公司”的中位数、众数大于“A公司”的，且“B公司”的方差小，更稳定.
26.解:(1)∵∠AOB=150°,∠BOC=120°,∴∠AOC=360°-120°-150°=90°.
∵将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转 60°得到△ADC,∴△BOC≌△ADC,
∴∠OCD=60°,∠D=∠BOC=120°,∴∠DAO=360°-∠AOC-∠OCD-∠D=90°;
证明：如图，连接OD，
∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC,
∴∠OCD=60°,CD=OC,AD=OB,∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD.
由(1),得∠DAO=90°,在 Rt△ADO中,
27.解：设甲步行的速度为x米/分钟，则乙骑自行车的速度为4x米/分钟，公交车的速度是8x米/分钟.
由题意，得 解得x=80,
经检验，x=80是原分式方程的解且符合题意.所以2.5×8×80=1600(m).
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600 m.
28.解:(1)BE=2DG.
证明:∵BE⊥,DG⊥,∴BE∥DG.
∵点D为边 BC 的中点,∴DG为△BCE的中位线,∴BE=2DG;
(2)图2的结论:BE+CF=2DG.
证明：如图2，连接ED并延长，交FC 的延长线于点M，
∵BE⊥,CF⊥,∴BE∥CF,即BE∥FM,
∴∠DEB=∠DMC,∠DBE=∠DCM,
又∵点D 为边BC 的中点,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDM(AAS),
∴BE=CM,DE=DM,∴DG为△EFM的中位线,
∴FM=CM+CF=2DG,即BE+CF=2DG.
图3的结论:BE-CF=2DG.
证明：如图3，连接FD并延长，交线段 BE于点N,
∵BE⊥,CF⊥,∴BE∥CF,∴∠DNB=∠DFC,∠DBN=∠DCF,
又∵点D为边BC 的中点,∴BD=CD,∴△BDN≌△CDF(AAS),
∴BN=CF,DN=DF,∴DG为△EFN的中位线,
∴EN=BE-BN=2DG,即BE-CF=2DG.
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