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第五章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第3课时 平行线之间的距离
1.一个长方形框架拉成平行四边形后，面积 ( )
A.先增大后变小 B.减小 C.增大 D.既可能减小也可能增大
2.如图,在平行四边形 ABCD中,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,过点 B作BF⊥AC,垂足为 F.若AB=6,AC=8,DE=4,则 BF的长为 ( )
A. 4 B. 3 C. D. 2
第2题图 第3题图
3.如图,在△ABC 中,∠BAC=30°,AB=AC=4,P 为AB 边上一动点，以PA，PC 为邻边作平行四边形PAQC,则对角线 PQ的最小值为 ( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
4.如图,F是□ABCD的边CD 上的点,Q 是BF 中点,连接CQ 并延长,交AB 于点E,连接AF 与DE 相交于点 P,若 则阴影部分的面积为 ( )
5.如图，平行四边形ABCD是某公园的观赏水池的平面图，经过测量，则该水池的面积是__________ m .
第5题图 第6题图
6.如图所示，P是内一点，且则阴影部分的面积为_________.
7.在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1,b,c之间的距离是2,若等腰 Rt△ABC 的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示， 则△ABC 的面积是___________.
8.如图,直线a∥b,AB 与a,b分别相交于点 A,B,且 AC⊥AB,AC交直线b于点C.
(1)若 求∠2 的度数；
(2)若 求直线 a与b的距离.
9.如图,在四边形 ABCD 中, ∥AC与BD 相交于点O,
与 的面积相等吗 为什么
(2)若 求
(3)若 且 求
10.如图，在平行四边形 ABCD中，点E 为AB 边上的中点，连接 DE 并延长，交CB的延长线于点 F.
(1)求证:
(2)若平行四边形 ABCD 的面积为32,试求四边形 EBCD的面积.
11.如图,在 中，已知 BE平分 交AD于点E.
(1)求证:
(2)若 求 的面积.
12.如图所示,在平行四边形 ABCD中,AE 平分∠BAD,交 CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E,连接 BF.
(1)求证:
(2)若点 F 是CD 的中点.
①求证:BF⊥AE;
②若 求平行四边形ABCD的面积.
参考答案
1. B 2. B 3. A 4. C 5. 24 6. 3
7.5 解析:如图,过点 B 作. 于点D，过点C作 于点E，
8.解:(1)∵a∥b,∠1=70°,∴∠3=∠1=70°,
∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,∴∠2=180°-∠BAC-∠3=20°;
(2)如图,过点 A 作AD⊥BC于点D,
∵AC⊥AB,AC=5,AB=12,BC=13,
即 解得
即直线a与b的距离为
9.解:(1)△ABC与△DBC的面积相等,理由是:
∵AD∥BC,∴△ABC的边 BC 上的高和△DBC 边 BC 上的高相等，设此高为h，
∴△ABC的面积是 的面积是
∵BC=BC,∴△ABC与△DBC的面积相等;
即
(3)∵BO:OD=2:1,∴BD=3OD,
∵△AOD的边OD 上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a，
10.解:(1)∵点E 是AB边上的中点,∴AE=BE.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F.
在△ADE 和△BFE 中,∠ADE = ∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE(AAS),∴AD=BF;
(2)过点 D 作DM⊥AB交BA 的延长线于点M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高.
∴
11.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,AD∥BC,∴∠3=∠2,
∵BE平分∠ABC,交 AD于点E,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,
∴AE=AB,∴CD=AE;
(2)作 EF⊥BC于点 F,则∠BFE=90°,
∵AE=AB,∠A=60°,∴△ABE是等边三角形，∴∠1=60°,BE=AB=4,
∴∠2=60°,∴∠BEF=90°-∠2=90°-60°=30°,
∴=BC·EF=6×2 =12 ∴ ABCD的面积是12
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠EAD=∠E,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=∠EAD=∠E.∴BA=BE.
又∵AB=CD,∴BE=CD;
(2)①证明:∵点 F 是CD 的中点,∴CF=DF.
在△ADF和△ECF中, ∴△ADF≌△ECF(AAS).
又
是等边三角形.
又
∴平行四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCF = S△CEF + S四边形ABCF = S△ABE =
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