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第五章 平行四边形
3 三角形的中位线
1.如图,在△ABC中,D,E,F分别是 BC:AC,AB 的中点, 若 AB=6,BC=8,则四边形 BDEF 的周长是 ( )
A. 28 B. 14 C. 10 D. 7
第1题图 第2题图
2.如图,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,AE=BE=2,EO=3,则 ABCD的周长为 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3.如图,M,P 分别为△ABC 的AB,AC上的点,且AM=BM,AP=2CP,BP 与 CM 相交于点 N,已知 PN=1,则 PB的长为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3题图 第4题图
4.如图，在平行四边形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O, BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB 的中点，下列结论：①四边形 BEFG 是平行四边形 ②BE⊥AC ③EG=FG ④EA平分∠GEF.其中正确的是 ( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④
5.如图,在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D,E 分别为BC,AC的中点,BF平分 交 DE 于点F，则 EF的长是 ( )
B. 1 C. 2
6.如图, 的周长为8,对角线AC,BD 相交于点 M,延长AB到点E，使 于点N，连接MN,则MN=____________.
第6题图 第7题图
7.如图所示,在△ABC中,AB=13,BC=12,点 D,E 分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果 DE=2.5,则△ACD 的周长为____________.
8.已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形……以此类推，则第2025 个三角形的周长为____________.
第8题图 第9题图
9.如图, ABCD的顶点C 在等边△BEF 的边 BF 上,点 E 在 AB 的延长线上,G为DE 的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则 CG的长为____________.
10.如图所示,在四边形ABCD 中, 点 M,N,E,F分别是BD,AC,BC,MN的中点,连接ME,NE.
(1)试猜想 的形状，并证明你的猜想；
(2)EF 与 MN 有何位置关系 请证明你的结论.
11.如图1,在平行四边形 ABCD中,点 E,F分别为AD，BC的中点，点 G，H 在对角线BD 上,且BG=DH.
(1)求证：四边形 EHFG 是平行四边形；
(2)如图 2,连接 AC,交 BD 于点 O,若求HF的长.
12.【三角形中位线定理】
已知：如图1，在 中,点 D,E分别是边AB，AC的中点.直接写出 DE 和 BC 的关系;
【应用】
如图2,在四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边AB,AD的中点,若. 2, 求 的度数；
【拓展】
如图3,在四边形 ABCD中,AC 与 BD 相交于点 E,点 M,N 分别为 AD,BC 的中点,MN 分别交AC,BD 于点 F,G, EG.求证:
参考答案
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. 2 7. 18
10.解:(1)△MEN 是等腰三角形.理由如下:
∵点 M,E是BD,BC的中点,∴ME 是 的中位线，
同理，
是等腰三角形；
(2)EF⊥MN.理由如下:
由(1),得△MEN 是等腰三角形.
∵点 F 是 MN 的中点,∴EF⊥MN.
11.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠EDH=∠FBG,
∵点 E,F分别为 ABCD的边AD,BC的中点,∴DE=BF,
在 与△BFG中,
∴EH∥FG,
∴四边形 EHFG是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=3,OB=OD,
∵BG=DH,∴BG-GH=DH-GH,即BH=DG,
∴OB-BH=OD-DG,即OH=OG,
∵HG=2BH,∴BH=OH,
∵点 F 为BC 的中点,∴HF 是△OBC的中位线,
12.解：【三角形中位线定理】
∥
【应用】连接BD,如图2,
∵E,F分别是边AB,AD的中点,∴EF∥BD,BD=2EF=4,∴∠ADB=∠AFE=45°,
∵BC=5,CD=3,
∴∠BDC=90°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°;
【拓展】证明:取 DC 的中点 H,连接 MH,NH,如图3,
∵点 M,H分别是AD,DC的中点,∴MH是△ADC的中位线,
∴MH∥AC且 同理,得 NH∥BD且
∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF,
∵MH∥AC,NH∥BD,∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,∴MH=NH,
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