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上师闵分宝分2024学年第一学期高二年级数学期中联考
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.有一根高为,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度 .
2.已知四棱柱的底面是正方形,侧棱垂直于底面,底面边长为,高为3,则此四棱柱的对角线长为 .
3.已知边长为3的正的三个顶点都在球的表面上,且OA与平面ABC所成的角为,则球的表面积为 .
4.已知两条不同的直线,两个不同的平面,给出下列四个说法:
(1); (2);
(3); (4),其中正确的序号是 .
5.直线垂直于平面内的两条不平行的直线，则直线与平面的关系是 .
6.已知异面直线所成的角为在直线上,在直线上,
,则间的距离为是 .
7.正方体中,平面与平面的交线是 所在的直线.
8.圆锥的底面半径为1,母线长为2,在圆锥体内部放入一个体积最大的球,该球的表面积为 .
9.已知圆锥的顶点为，母线的夹角为与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为 .
10.在正方体中,二面角的平面角大小为 .
11.已知正三棱柱的底面边长为,高为2,点是其表面上的动点,该校柱内切球的一条直径是,则的取值范围是 .
12.已知正四面体棱长为2,点分别是内切圆
上的动点,现有下列四个命题:
(1)对于任意点,都存在点,使;
(2)存在,使直线平面;
(3)当最小时,三棱锥的体积为
(4)当最大时,顶点A到平面的距离的最大值为.
其中正确的有 .（填选正确的序号即可）
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点坐标是（ ）.
A. B. C. D.
14.设为两条不同的直线,为两个不重合的平面.下列命题中正确的是（ ）.
A.若,则
B.若与所成的角相等,则与平行或相交
C.若内有三个不共线的点到的距离相等,则
D.若且,则
15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论:
(1)当点是中点时,直线平面;
(2)直线到平面的距离是;
(3)存在点,使得；
(4)面积的最小值是.
其中所有正确结论的个数是（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
16.如图所示,四面体的体积为,点为棱的中点,点分别为线段的三等分点,点为线段的中点,过点的平面与棱分别交于,设四面体的体积为,则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分78分）
17.(满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在棱长为2的正方体中,为的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值;
（2）求三棱锥的体积.
18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,四棱锥的底面为正方形,分别为的中点,且平面平面.
（1）证明:;
（2）若,当四棱锥的体积最大时,求直线与平面的夹角.
19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,在四棱锥中,,平面
分别为棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
如图,已知长方体,直线与平面所成角为垂直于.
（1）若为棱的动点,试确定的位置,使得平面,并说明理由;
（2）若为棱的中点,求点到平面的距离;
（3）若为棱上的动点(除端点外),求二面角的平面角的范围.
21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
一个几何系统的"区径"是指几何系统中的两个点距离的最大值,如圆的区径即为它的直径长度.
（1）已知为直角边为1的等腰直角三角形,其中,求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径;
（2）已知正方体的棱长为2,求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径;
（3）已知正方体的棱长为2,求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.（1）（4）; 5.垂直; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.（1）（2）（4）
11.已知正三棱柱的底面边长为,高为2,点是其表面上的动点,该校柱内切球的一条直径是,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，问题等价于已知是边长为的正内切圆的一条直径,为边上的一动点,求的取值范围.
建立如图所示的直角坐标系，
是边长为的正内切圆,
内切圆的半径.
正内切圆的方程为.
将之转化成到内切球球心的距离求解，
当位于底面中心时位于顶角时,
所以的取值范围的取值范围是.
12.已知正四面体棱长为2,点分别是内切圆
上的动点,现有下列四个命题:
(1)对于任意点,都存在点,使;
(2)存在,使直线平面;
(3)当最小时,三棱锥的体积为
(4)当最大时,顶点A到平面的距离的最大值为.
其中正确的有 .（填选正确的序号即可）
【答案】（1）（2）（4）
【解析】正四面体棱长为2,点分别是,内切圆上的动点,
设,,的重心分别是,
以为原点,过作的平行线为轴，所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系，如图，
则
且
三个内切圆的半径均为,且可设:
对于(1),当确定后,取为关于平面的对称点,则垂直于平面,
对于任意点,都存在点,使,故(1)正确;
对于(2),当时,有
此时满足条件，故(2)正确;
对于(3),此时位于最上方,即,这时,点到平面的距离为,,故(3)错误；
对于(4),此时,根据对称性有
此时在处取到最大值,此时的纵坐标都是,
点到平面的距离为,故(4)正确.故答案为:（1）（2）（4）.
二、选择题
13.A 14.D 15.C 16.C
15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论:
(1)当点是中点时,直线平面;(2)直线到平面的距离是;
(3)存在点,使得； (4)面积的最小值是.
其中所有正确结论的个数是（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】对(1),如下图所示：因为是中点,,所以点是的中点,连接,
显然也是的交点,连接,所以,
而平面平面,所以直线平面,(1)对;
以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则,
对(2),分别是棱的中点,,平面平面,故平面,故直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设为，
得,(2)错:
对(3),设,则,
则,,由,
即,得,
由,故存在点,使得,(3)对;
对(4),由(3)得到的投影为,
故到的距离
面积为
由二次函数性质,当时,取得最小值为,(4)错.故选:.
16.如图所示,四面体的体积为,点为棱的中点,点分别为线段的三等分点,点为线段的中点,过点的平面与棱分别交于,设四面体的体积为,则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接,由题意知：
令则所以,
因为四点共面,所以
（当且仅当时取等号），所以,
设点到平面的距离为,则点到平面的距离为,
又,,
所以,即的最小值为.故选：C.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
如图,已知长方体,直线与平面所成角为垂直于.
（1）若为棱的动点,试确定的位置,使得平面,并说明理由;
（2）若为棱的中点,求点到平面的距离;
（3）若为棱上的动点(除端点外),求二面角的平面角的范围.
【答案】（1）时,平面, （2） （3）
【解析】（1）时,平面,证明如下:延长交于
因为平面,所以是直线与平面所成的角,即,
所以,由,所以,
在上取点,使得,连接,,则,
又是平行四边形,,
是平行四边形,
是平行四边形,,
,又平面平面,
平面,即平面;
（2）
由长方体性质可得,
,,
设到平面的距离为,则由得,
（3）作,垂足为,作于,连接,则平面
平面,同理,
平面平面,
而平面是二面角的平面角,
设,则由是矩形得,
则,是锐角,
.二面角的范围是.
21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
一个几何系统的"区径"是指几何系统中的两个点距离的最大值,如圆的区径即为它的直径长度.
（1）已知为直角边为1的等腰直角三角形,其中,求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径;
（2）已知正方体的棱长为2,求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径;
（3）已知正方体的棱长为2,求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）如图,若几何系统中的两点分别在两圆上,
不妨设其中一点在上,
若另一点在上,则
当共线时取到等号;
若另一点在上,则
当共线时取到等号;若两点在同一圆上,则最大距离为直径,即,
综上,该几何系统的区径为;
（2）记棱切球的球心为,即为正方体的中心,易求得棱切球的半径为,
因为为正三角形，记它的外接圆圆心为,得其半径为,
又则球心到的外接圆上任意一点的距离均为,
圆与球的位置关系如图:
若两点分别在球上和圆上,设点在球上,点在上,则有,
所以,当三点共线,且在的异侧时取到等号,
若两点同时在球上或圆上,则最大距离为的直径,即
综上，该几何系统的区径为；
（3）如图以为原点建立空间直角坐标系,
在平面上,的方程为;
在平面上,的方程为,
若两点分别在两圆上,设点在上,点在上,
且
则
（其中）为辅助角），即,等号成立
当且仅当,若两点在同一个圆上,则最大距离为的直径,即2.
综上，该几何系统的区径为.

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