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青海省西宁市湟中区第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = {4,5,6,7}， = {6,7,8}，若 = ∪ ，则 ( ∩ ) =( )
A. {6,7} B. {4,5,6,7,8} C. {4,5,8} D.
2.命题 ： ∈ [1, +∞)， 2 + 2 ≤ 0的否定是( )
A. ∈ ( ∞, 1]， 2 + 2 > 0 B. ∈ ( ∞, 1]， 2 + 2 ≤ 0
C. ∈ [1, +∞)， 2 + 2 > 0 D. ∈ [1, +∞)， 2 + 2 ≤ 0
3.已知 ( ) = ( 2) 是幂函数，则 (2) =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
1 4
4.已知正数 、 满足 + = 1，则 + 的最小值是( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.已知函数 ( 2) = 2 4 + 5，则函数 = ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2 + 1 B. ( ) = 2 + 2 C. ( ) = 2 2 D. ( ) = 2 2
3 1 3 1
6.已知 = ( )3， = ( ) 3， = 33，则 、 、 的大小关系为( )
5 5
5
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.函数 ( ) = 2| | 2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 ≥ 0的解集为 ，则实数 的取值范围是( )
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A. { | < 2或 ≥ 2} B. { | 2 < < 2}
C. { | 2 < ≤ 2} D. { | < 2}
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题成立的是( )
1 1
A. 若 < < 0，则 3 + 3 > 2 + 2 B. 若 < < 0，则 <

+2
C. 若 > > 0，则 < D. 若 > > 0，则 >
+2
( ) ( )
10.下列函数中，满足“ 1， 2 ∈ (0, +∞)，都有
1 2 > 0”的有( )．
1 2
A. ( ) = 5 + 1 B. ( ) = 3 + 1
2
C. ( ) = 2 + 4 + 3 D. ( ) =

(1 ) + 3, ≤ 2
11.已知函数 ( ) = { 是减函数，则 的可能取值为( )
2 + 2, > 2
2
A. 0 B. 1 C. 4 D. 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.函数 ( ) = √ 1 + + ln 的定义域用区间表示为______．
1 3
1
13.若命题“ ∈ [ , +∞), 2 < 0”是假命题，则 的取值范围为______．
2
(1) (3) (5) (2023)
14.若 ( )满足对任意的实数 、 都有 ( + ) = ( ) ( )且 (1) = 2，则 + + + + =
(0) (2) (4) (2022)
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列各式的值：
9 1 27 2 3
(1)( )2 ( 9.6)0 ( ) 3 + ( ) 2；
4 8 2
4
(2)( 43 + 83)( 32 + 9 2) + 3 √27 2
25；
1 1
(3)若3 = 12， = log412，求 + 的值．
16.(本小题15分)
已知集合 = { | 2 6 + 8 ≤ 0}， = { | ≤ ≤ + 1}．
(1)若 = 1，求 ∪ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的既不充分也不必要条件，求 的取值范围．
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17.(本小题15分)
某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产 万件该产品，需另投入成本
1
2 + 8 , 0 < ≤ 12,104 ∈
( )万元，且 ( ) = {3 .已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且
256
15 + 60,12 < ≤ 20,104 ∈

生产的所有产品都能销售完．
(1)求该公司这款产品的利润 ( )(单位：万元)关于产量 (单位：万件)的函数关系式．
(2)当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题17分)
设 = 2 + (1 ) + 2．
(1)若不等式 ≥ 2对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 2 + (1 ) + 2 < 1( ∈ )．
19.(本小题17分)

已知函数 ( )和 ( )都是奇函数， ( ) = + ，且 (3) = 6，当 > 0时， ( ) = 2 + + 1，且函数 ( )

的定义域为 ．
(1)求 ( )和 ( )的解析式；
(2)用定义法判断 ( )在区间[3, +∞)上的单调性；
(3) ∈ [1,2]，都有 ( 2 3) + ( + 1) > 0，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】[ 1, )
3
13.【答案】( ∞, √ 2]
14.【答案】2024
3 4 4 1
15.【答案】解：(1)原式= 1 + = ；
2 9 9 2
1 1 1 3 5 3 3 5 3
(2)原式= ( 23 + 23)( 32 + 2) + 42 3 2 3 3
3 5 = × + 5 = + 5 = 3；
6 2 4 4 4
(3) ∵ 3 = 12，∴ = log312，
又∵ = log412，
1 1 1 1
∴ + = + = log 3 + log 4 = log 12 = 1．
12 12 12312 412
16.【答案】解：(1)由 = { | 2 6 + 8 ≤ 0} = { |2 ≤ ≤ 4}，
当 = 1时， = { |1 ≤ ≤ 2}，则 = { | < 1或 > 2}，
所以 ∪ ( ) = { | < 1或 ≥ 2}．
(2)由题意可知， ，
则 < 2或 + 1 > 4，得 < 2或 > 3，
所以实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ (3, +∞)．
17.【答案】解：(1)因为该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完，
1 1
所以当0 < ≤ 12时， ( ) = 14 ( 2 + 8 ) 15 = 2 + 6 15，
3 3
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256 256
当12 < ≤ 20时， ( ) = 14 (15 + 60) 15 = + 45，

1
2 + 6 15,0 < ≤ 12,104 ∈
则该公司这款产品的利润 ( )关于产量 的函数关系式为 ( ) = { 3 ；
256
+ 45,12 < ≤ 20, 104 ∈

1 1
(2)当0 < ≤ 12时， ( ) = 2 + 6 15 = ( 9)2 + 12，
3 3
则当产量为9万件时，利润达到最大值12万元，
256 256 256
当12 < ≤ 20时， ( ) = + 45 ≤ 2√ + 45 = 13，当且仅当 = ，即 = 16时取等号，

则当产量为16万件时，利润达到最大值13万元，而13 > 12，
所以当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元．
18【. 答案】解：(1)由题设 2 + (1 ) + 2 ≥ 2，即 2 + (1 ) + ≥ 0对一切实数 恒成立，
当 = 0时， 2 + (1 ) + = ≥ 0不恒成立；
> 0 1
当 ≠ 0时，只需{ = (1 )2 4 2 ≤ 0，可得 ≥ ； 3
1
综上，实数 的取值范围为[ , +∞)；
3
(2)当 = 0时， 2 + (1 ) + 2 < 1，即 2 < 1，可得 < 1，所以解集为( ∞, 1)；
1
当 ≠ 0时， 2 + (1 ) 1 = ( + )( 1) < 0，

1
若 < 0，则( + )( 1) > 0，

1 1 1
若 > 1，即 1 < < 0时，可得 > 或 < 1，解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)；

1
若 = 1，即 = 1时，可得 ≠ 1，解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)；

1 1 1
若 < 1，即 < 1时，可得 > 1或 < ，解集为( ∞, ) ∪ (1, +∞)；

1 1 1
若 > 0，则( + )( 1) < 0，可得 < < 1，解集为( , 1)．

综上，当 = 0时，解集为( ∞, 1)；
1
当 1 < < 0时，解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)；

当 = 1时，解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)；
1
当 < 1时，解集为( ∞, ) ∪ (1,+∞)；

1
当 > 0时，解集为( , 1)．

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9
19.【答案】解：(1)因为 (3) = 3 + = 6，解得 = 9，所以 ( ) = + ，
3
因为函数 ( )是定义域为 的奇函数，则 (0) = 0，
当 > 0时， ( ) = 2 + + 1，
则当 < 0时， > 0， ( ) = ( )2 + ( ) + 1 = 2 + 1，
则 ( ) = ( ) = 2 + 1，
2 + 1, < 0
因此， ( ) = {0, = 0 ．
2 + + 1, > 0
(2) ( )在[3, +∞)上为增函数，证明如下：
任取 1、 2 ∈ [3,+∞)且 1 > 2，则 1 2 > 0， 1 2 > 9，
9 9 9 9 9( )
( 1) ( 2) = ( 1 + ) ( 2 + ) = ( 1 2) ( ) = ( )
1 2
1 2 1 2 2 1 1 2
( )( 9)
= 1 2 1 2 > 0，
1 2
所以 ( 1) > ( 2)，函数 ( )在[3, +∞)上为增函数．
2 + 1, < 0
(3)因为 ( ) = {0, = 0 在( ∞, 0)、(0, +∞)上均为增函数，
2 + + 1, > 0
作出函数 ( )的图象如下图所示：
由图可知，函数 ( )在 上为增函数，且为奇函数，
由 ( 2 3) + ( + 1) > 0可得 ( + 1) > ( 2 3) = (3 2)，
2
则 + 1 > 3 2，因为 ∈ [1,2]，可得 > ，

2
令 ( ) = ， ∈ [1,2]，

2
函数 ( ) = 在[1,2]上单调递减，由题意可得 > ( ) = (1) = 2 1 = 1，
因此，实数 的取值范围是(1, +∞)．
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