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2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.两条平行线与间的距离为( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.两圆与的公切线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7.已知点，且点是圆上的动点，，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
8.在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到面的距离为，则这个羡除的体积是( )
A. B. C. D.
9.设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆的切线为切点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点下列叙述正确的是( )
A. 当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为
B. 当点为棱的中点时，平面
C. 当点时，满足平面的点共有个
D. 当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若直线与直线平行，则 ．
12.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是 ．
13.若方程表示圆，则的取值范围为 ．
14.在三棱锥中，、、两两垂直且长度均为，定长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动含边界，若线段的中点的轨迹的面积为，则的值为 ．
15.年卡塔尔世界杯会徽如图近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的是 填上你认为所有正确的序号

双纽线关于原点中心对称；
双纽线上满足的点只有个；
；
的最大值为．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线过点，直线．
若，求直线的一般式方程；
若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．
17.本小题分
已知点及圆．
设过点的直线与圆交于两点，当时，求以为直径的圆的方程；
设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在如图所示的多面体中，平面平面，且是的中点．
求证：；
求平面与平面所成角的余弦值；
若点为的中点，求直线与平面所成的角的大小．
19.本小题分
已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为且被直线截得的弦长为．
圆的方程；
设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或，
14.
15.
16.直线的斜率为，若，
则直线的斜率为，直线的方程为．
点在直线上，
当直线的斜率为时，直线的方程为，
此时直线与轴和直线无法围成三角形，不符合题意．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时围成三角形的面积为，符合题意．

当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的方程为，
令，解得，
所以，
解得，此时直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．


17.因为圆，即的圆心为，，
因为，又，
所以，
故以为直径的圆的方程为．
由，消去，整理得，
由于直线交圆于，两点，
故，即，解得，
则实数的取值范围是，
假设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在直线上，
所以的斜率，所以，由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．

18.证明：，是的中点，
，
又平面，面，
，
，平面，平面，
平面，又平面，
；
以为原点，分别以，为，轴，竖直向上为轴，如图建立坐标系．
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，解得：，，
；
设平面的一个法向量，
则，取，解得：，，
，
，
记平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面夹角的余值为．
，，，，
，设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角为．

19.解：设圆的圆心为，则圆心到直线的距离．
由题意可得，，即，解得或舍．
圆的方程为；
证明：是直线上的点，．
为圆的切线，，即过，，三点的圆是以为直径的圆．
设圆上任意一点，则．
，，
，
即．
故，解得或．
因此经过，，三点的圆必过定点和．
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