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2024-2025学年北京市理工大学附属中学高二上学期12月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为的抛物线方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题若曲线，且点，分别在曲线和圆：上，则，两点间的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是 ．
12.已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为 ．
13.双曲线的一条渐近线为，则其离心率为 ．
14.过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率是 ．
15.造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线下列说法正确的是 ．
轨迹仅经过一个整点即横纵坐标都是整数的点；
若点位于椭圆上，且，则的离心率为；
点与原点之间的距离不超过；
若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知点在圆上．
求该圆的圆心坐标及半径长；
过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
17.本小题分
曲线且
若曲线表示双曲线，求的取值范围；
当，点在曲线上，且点在第一象限，，求点的横坐标．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且
求的离心率；
设是与的公共点，若，求与的标准方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于不同的两点在之间，问是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：点在圆：上，
，
解得．
圆的方程为，
圆心坐标为，半径．
依题意，直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
．
17.由曲线表示双曲线，得，解得，
所以的取值范围是．
当时，双曲线：，设点，
由，且，得，
则，整理得，又，
联立消去得，解得，
所以点的横坐标为．

18.解：为椭圆的右焦点，且垂直轴，，，
设抛物线方程为，
为抛物线的焦点，且垂直轴，
，，
，与的焦点重合，
整理得，，又因，
设的离心率为，则，解得或舍，
故椭圆的离心率为；
由知，，，
：，：，
联立两曲线方程，消去得，
，
或舍，
从而，解得，
所以与的标准方程分别为，．

19.当点为椭圆的上顶点或者下顶点时，面积取得最大值，
不妨取上顶点为，则，
所以，即，
又因为面积取得最大值为，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
若直线轴，则四点共线，无意义，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立，消去得，
整理得，
所以，即，解得，
又由韦达定理可得，
因为，
因为，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为在之间，所以，设，
因为双勾函数在单调递减，且，
所以由可知，，
所以，所以不存在最值．

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