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2024-2025学年辽宁省沈阳二十中高三（上）第三次模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数、满足，若，则( )
A. B. C. D.
2.设是数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
3.在半径为的圆上任取三个不同的点，，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
6.当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，若有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，当时，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边为，，则下列说法正确的是( )
A. ，则是锐角三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
10.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若时，三棱锥的体积为定值
B. 若时，有且仅有一个点，使得
C. 若，则的最小值为
D. 若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，都有”是假命题，则实数的取值范围为______．
13.曲线与曲线的公切线方程为______．
14.已知函数，的零点分别为，，且，，则 ______；若恒成立，则整数的最大值为______．
参考数据：，，，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等比数列的前项和，已知．
求的通项公式；
设求数列的前项和．
16.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，分别是线段和线段上的动点，且，．
求证平面；
若到平面的距离为，求的长度．
17.本小题分
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动现有名男教师，名女教师报名，本周随机选取人参加．
求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
记参加活动的女教师人数为，求的分布列及期望；
若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为，每人每参加项活动可获得“体育明星”积分分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为，求的期望．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
Ⅰ若，，求的面积；
Ⅱ求证：；
Ⅲ当取最小值时，求．
19.本小题分
已知函数．
证明：当时，只有个零点；
当时，讨论的单调性；
若，设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
，
等比数列的公比．
当时，由得，即，解得，
所以．
由题意得，当为奇数时，，
当为偶数时，，
，
，
．
16.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，又，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图，
因为，，
则，，，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
所以，
所以，又平面，
所以平面；
若到平面的距离为，则，
又，
所以，
整理可得，
解得或舍去，
所以，
所以．
17.解：设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件，
则，，
所以．
依题意知服从超几何分布，且，
，，，
所以的分布列为：
．
设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，
，
所以．
即两个教师得分之和的期望为分．
18.解：Ⅰ由题意，，
则，
则，所以，
所以的面积；
Ⅱ证明：由，
可得，即，
由余弦定理得：，
化简得：，即；
Ⅲ由，可得：
，
又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时．
19.解：证明：当时，，函数定义域为，
可得恒成立，
所以在上单调递增，
又，
根据零点唯一性定理可知，只有个零点为；
因为，
所以函数的定义域为，
可得，
因为，
当，即时，恒成立，
则，
所以函数在上单调递减；
当，即时，
方程的两个根为，
因为，且，
所以均在内，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，当时，在单调递减，
当时，在单调递减，单调递增，单调递减；
证明：当时，，
因为，
要证，
需证，
要证，
即证，
设，
此时需证，
即证，
设，函数定义域为，
可得，
所以在单调递增，
则．
即．
故．
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