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2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中真命题的个数是( )
，；
至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
是无理数，是无理数．
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田种植环境相同连续次的产量如下：
甲
乙
则下列说法错误的是( )
A. 甲种水稻产量的众数为
B. 乙种水稻产量的极差为
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
5.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，已知，是中点，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称
10.已知抛物线：的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为和，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的准线方程为
C. 圆的标准方程为
D. 若过点，且与直线为坐标原点平行的直线与圆相交于，两点，则
11.已知函数，则( )
A. 的极小值为
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ．
13.某商场在过道上设有两排座位每排座供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有______种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有______种用数字作答
14.已知角终边上一点，求的值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．
求；
若，求周长取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅲ若在时取得极值，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，．
求证：；
若平面平面，求二面角的余弦值．
18.本小题分
某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有、两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响若元素指标达标的概率为，元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
一个食品经过检测，求两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
任意依次抽取该种食品个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
19.本小题分
已知在正项数列中，，点在双曲线上在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．
求数列的通项公式并求出其前项和；
求证：数列是等比数列．
参考答案
1.
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4.
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13.
14.
15.解：．
由正弦定理可得：，
可得：，
为三角形内角，，解得，，
．
因为，，
利用正弦定理得：，
所以，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，，所以，，，
所以
16.解：Ⅰ，定义域为，
．
，．
解得．
Ⅱ当时，，，
．
．
因此曲线在点处的切线方程为．
Ⅲ在时取得极值，
，即，
解得．
当时，．
令，即，解得；令，即，解得．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
在时取得极大值，符合题意．
因此．
17.解：证明：如图，取中点，连接，，，
底面为菱形，，
是等边三角形，，
又点为中点，，
是等边三角形，，
又，平面，又平面，
；
是边长为的正三角形，点为中点，，
平面平面，平面平面，底面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
则：，，，
，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
平面的法向量为，
，，又观察得二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
18.解：令为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是，都不达标的事件，
因此，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为；
依题意，，两类元素含量指标都达标的概率为，
的所有可能取值为，，，，，显然，
则，，，
，，
所以的概率分布为：
则．
19.解：由已知点在上知，．
数列是一个以为首项，为公差的等差数列．
，．
证明：点在直线上，
两式相减，得．
，．
由，令，得，．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
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