资源简介

广西“邕衡教育·名校联盟”2025届高三上学期12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若是奇函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的离心率，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.将函数 的图象向右平移个单位，得到函数的图象，“则是奇函数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.设函数，满足若函数存在零点，则 ( )
A. B. C. D.
7.计算( )
A. B. C. D.
8.，，，使得恒成立，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.如图正方体，，分别是，的中点，则( )
A. 直线与直线垂直，直线 平面
B. 直线与直线相交，直线 平面
C. 直线与所成的角为
D. 直线与平面所成的角为
11.已知函数，则( )
A. 若，则
B. 若，则在上单调递增
C. 若，则在上单调递减
D. 若有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的系数为__________用数字作答．
13.已知复数满足；写出一个同时满足的复数__________．
14.已知数列满足或，其中，设的前项和为，则的所有可能为 用数字作答，可能的不同取值个数为 用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在区间上的值域；
若，有，求的取值范围．
16.本小题分
年月，“环广西世巡赛”成功举行，志愿者的服务工作是世巡赛成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求、的值；
若面试成绩前名为优秀，请估计优秀成绩的最低分；
现从以上各组中用分层抽样的方法选取人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则
17.本小题分
已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，、分别为、中点．
现有如下两个条件：
条件；
条件
请从上述二个条件中选择一个条件，能使成立，并写出证明过程．
若，求三棱锥体积最大时，二角面的正弦值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，
若为锐角三角形，对任意内角，，若，是它的导数，证明：
若为锐角三角形，且角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，试探讨是否为定值？请说明理由
在中，当，求面积的最大值
19.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，且过点．
求椭圆的方程；
点为椭圆外的一点，过作两条直线与椭圆相切，且这两条直线互相垂直，求点的轨迹方程；
过平面上一点作中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为依此类推，过平面上一点作轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为在每条轨迹方程上任取三个点、、，且使得，，均为钝角为坐标原点求证：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，满足或的复数都符合
14.，，
15.解：当时，，
因此，
因此当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此，在区间，在上递增，在上递减，
由于，，，
因此的值域是．
由题意知，即，
令，则．
因此当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则．
所以的取值范围为．
16.解：由题意可知，
解得
由可知每组的频率依次为，，，，，
因为，故优秀成绩的最低分，
所以，
可得，所以优秀成绩的最低分为分
设第二组、第四组的平均数分别为，，方差分别为，，
且各组频率之比为：，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
．
17.解：选择条件，
连接，，
，是中点，，
又，，
，、面，
面，
又面，
．
选择条件，
连接，，
，，，
，
，
是中点，
．
在三角形中，，是中点，所以．
所以，当面时，点到面距离的最大，
连接、，
面，面，
面面，
，面面，面，
面，
建立以为坐标原点，、、分别、、轴的空间直角坐标系，
在等腰直角三角形中，，
故相关点坐标如下：，，，，，
设面的法向量，
则，即，
令，则，，则，
易得，面的法向量，
，，
二面角是锐二面角，
二面角的余弦值为．

18.解：由题意可知，，，，，所以，，所以
由，得
记，，，由条件得，
因为，所以所以，所以，，必为整数
由，得，所以，又，所以，，
所以，又，所以，，
解得
，代入得
即，，，所以
因为，可得，由的结论得，又，所以
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，而，所以，
所以
即该三角形的面积的最大值为．
19.解：由于椭圆的短轴长为，所以有
又由于椭圆过点，所以有，所以有，
所以有椭圆的方程为
当过作两条直线与椭圆相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点的坐标为
当过作两条直线与椭圆相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为，．
设点的坐标为，则切线方程可设为与
联立，可得由于相切，则
则，即，
同理可得
所以，可以看成是的两根，
由于这两条切线互相垂直，则，所以有．
注意到，当过作两条直线与椭圆相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点的坐标为，也满足，则点的轨迹方程为，
由于点的轨迹方程为是一个圆，则过平面上一点作中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，点的轨迹方程也是一个圆，设轨迹方程的半径为，则点的轨迹方程的半径为，依次类推，设轨迹方程的半径为，则点的轨迹方程的半径为，不难发现是以为首项，为公比的一个等比数列，则，
由于、、是轨迹方程上任意三点，可设，，，
由于，，均为钝角，则，
方法一：注意到在上是上凸函数。
由琴生不等式，可得，
当且仅当时取等。
；
方法二：
所以，当时，取得最大值

第1页，共1页

展开更多......

收起↑