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江苏省淮安市淮阴中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |log2 > 1}， = { 1,0,1,3,5}，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {3,5} C. { 1,0,1,3} D. { 1,0,1,3,5}
3
2.下列各角中，与角 终边相同的角为( )
4
3 5 9
A. B. C. D.
4 4 4 4
3.已知一个扇形的周长是4 ，面积为1 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1
4.已知 = ( )0.3
1
, = ( )0.2, = 0.30.2，则 ， ， 的大小关系为( ) 6 6
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象

特征，如函数 ( ) = 4 的图象大致形状是( ) 1
A. B.
C. D.
6.已知幂函数 = ( 3 4 + 1) 的图象与坐标轴没有公共点，则实数 的取值为( )
A. 2 B. 2 C. 0或 2 D. 0或2
7.设 ， ∈ ，则“ + 1 = + ”的充要条件为( )
A. ， 至少有一个为1 B. ， 都为1
C. ， 都不为1 D. 2 + 2 = 2
8.已知函数 ( ) = ln( + 1)，若对于任意0 < 1 < 2，都有 ( 1 + 1) ( 2 + 1) < 1 2成立，则
实数 的取值范围( )
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A. (1, +∞) B. ( ∞, 1) C. [1 , 1) D. (1 , 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题 ： ∈ ，有 2 + 1 > ，则 的否定： 0 ∈ ，有
2
0 + 1 ≤ 0
B. 若 > 0，则 2 = ( )2
C. 当 > 0时，则 ∈ ，使得 2 + = 0成立
D. 函数 ( )的定义域为[ 3,1]，则函数 = ( 1)的定义域为[1,2]
10.已知函数 ( ) = |2 2|，且 ( ) = ( )， < ，则( )
A. 2 + 2 = 4 B. + < 2 C. < 1 D. ( ) 2 ∈ (0,8)
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对于任意实数 ， 满足： ( + ) = ( ) + ( ) 1，当 < 0时， ( ) > 1，
则下列说法正确的是( )
A. (0) = 1
B. ( )为 上的增函数
C. ( ) 1为奇函数
D. 若 ( 6) + ( 2) > 2，则 的取值范围为( 3,2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 2 1 + 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，则点 的坐标______．
13.函数 = 21( + 2 + 3)的单调递减区间是______．
2
14.已知函数 ( )， ( )分别为 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = 2 ，若对于任意 1 ∈ [0,1]，任意 2 ∈
[0,1]，使得 ( 1) ≥ ( 2)成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
4
(1)已知角 的终边经过 ( 3, )，且 = ，求三角函数 ， 的值；
5
125 1
(2)计算： 5 20 + ( 2)2 + ( )3 + 3．
8
16.(本小题15分)
2
设函数 ( ) = √ 定义域为 ，函数 ( ) = lg[( 2 2)( )]定义域为 ．
7
1
(1)若 = ，求 ∩ ；
2
(2)若” ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
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17.(本小题15分)
设函数 ( ) = 2 ( + 1) + ．
( )+3
(1)若 = 1，当 > 1时，求 = 的最小值；
1
(2)求关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0解集；
1 2
(3)若 (2) = 2 且 ， > 0，求 + 的最小值．

18.(本小题17分)
2 1
设函数 ( ) = 2 + ，( ∈ )，函数 ( ) = + ．

(1)讨论函数 ( )的奇偶性，并证明；
(2)当 = 1时，用定义证明函数 ( )在[1, +∞)上单调性；
2
(3)当 = 1时，对于任意 ∈ [1,2]，都有 ( ) ≥ 2恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
俄国数学家切比雪夫(1821— 1894)是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合 上的函数 ( )，以
及函数 ( ) = + ( , ∈ )，切比雪夫将函数 = | ( ) ( )|， ∈ 的最大值称为 ( )， ( )的“偏
差”．
(1)函数 ( ) = 2( ∈ [0,1])， ( ) = 1，求 ( )， ( )的“偏差”；
1
(2)函数 ( ) = + 1( ∈ [1,2])， ( ) = + 1( > 0)，若 ( )， ( )的“偏差”为2，求 的值；

(3)函数 ( ) = 2 ( ∈ [0,3]) ( ) = 2 + ，若 ( )， ( )的“偏差”取最小值，求 的值，并求出“偏
差”的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1,4)
13.【答案】( 1,1]
4
14.【答案】( ∞, ]
3
4
15.【答案】解：(1)因为角 的终边经过 ( 3, )，且 = ，
5
4
由三角函数定义可得， = = ，解得 = 4(负根舍去)，则 ( 3, 4)，
2 5√ 9+
3 3 4 4
所以 = = , = = ．
5 3 3
√ 32+42
2 125
1
(2) 5 20 + ( 2) + ( )3 + 3
8
5 1
= 5 lg(22 × 5) + ( 2)2 + (( )3)3 + 3
2
5
= 5 (2 2 + 5) + ( 2)2 + + 3
2
11
= ( 5)2 + 2 2 5 + ( 2)2 +
2
11 11 11 13
= ( 5 + 2)2 + = ( 10)2 + = 1 + = ．
2 2 2 2
2
16.【答案】解：(1)函数若有意义，需满足 ≥ 0，得2 ≤ < 7，则 = { |2 ≤ < 7}，
7
1 9 1
若 = ，由( 2 2)( ) > 0得( )( ) < 0，
2 4 2
1 9 1 9
解得 < < ，则 = { | < < }，
2 4 2 4
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9
所以 ∩ = { |2 ≤ < }；
4
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，则 ， = { |2 ≤ < 7}，
1 7
∵ 2 + 2 = ( )2 + > 0，∴ 2 + 2 > ，
2 4
由( 2 2)( ) > 0，可得 < < 2 + 2，
∴ = { | < < 2 + 2}，
< 2
∵ ，∴ { 2 ，解得 ≤ √ 5． 7 ≤ + 2
∴实数 的取值范围是( ∞, √ 5]．
17.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 2 + 1，且 > 1，
2
( 1) +3 3 3
故 = = 1 + ≥ 2√ ( 1) × = 2√ 3，
1 1 1
当且仅当 1 = √ 3，即 = √ 3 + 1时取等号．
故 的最小值为2√ 3．
(2) 2 ( + 1) + < 0即( )( 1) < 0，
①当 > 1时，解得1 < < ；
②当 = 1时，无解；
③当 < 1时，解得 < < 1，
故当 > 1时，解集为{ |1 < < }；
当 = 1时，解集为 ；
当 < 1时，解集为{ | < < 1}；
(3) (2) = 4 2( + 1) + = 2 ，故 + 2 = 2．
1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 9
则 + = ( + )( + 2 ) = (5 + + ) ≥ (5 + 2√ × ) = ，
2 2 2 2
2 2 2 1 2 9
当且仅当 = ，即 = = 时取等号，故 + 的最小值为 ．
3 2
18.【答案】解：(1)如果若 ≠ 0， ( )既不是奇函数，也不是偶函数； = 0，函数 ( )为奇函数，证明如
下：
函数 ( ) = 2
2
+ 的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，

2 2
那么 ( ) = ( )2 = 2 ，

如果 ≠ 0，那么 ( ) ≠ ( )且 ( ) ≠ ( )，因此函数 ( )既不是奇函数，也不是偶函数；
2
如果 = 0，那么 ( ) = = ( )，故 ( )为奇函数．

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(2)函数 ( )在[1, +∞)上单调递增，理由如下：
2
= 1时，函数 ( ) = 2 + ，

任取 1， 2 ∈ [1, +∞)，且 1 < 2，
2 2 2 2
那么 ( 1) ( ) =
2
2 1 +
2
2 = (
2 2) ( )
1
1 2
2 2 1
2(
= ( + 1
2) 2
1 2)( 1 2) = ( 1 2)( 1 + 2 )， 1 2 1 2
由于 1， 2 ∈ [1, +∞)，且 1 < 2，
2 2
因此 1 2 ∈ (1, +∞)， 1 + 2 > 2, < 2，所以 + > 0， 1 21 2 1 2
2
1 2 < 0，所以 ( 1) ( 2) = ( 1 2)( 1 + 2 ) < 0， 1 2
因此 ( 1) < ( 2)，所以函数 ( )在[1, +∞)上单调递增；
1 2
(3)对于任意 ∈ [1,2]，都有 + ≥ 2恒成立，
2
所以 2 + ≥ 1在 ∈ [1,2]上恒成立，

根据第二问知，当 = 1时，函数 ( )在[1, +∞)上单调递增，
2 2
所以 2 + ≥ 12 + = 3，因此3 ≥ 1，所以 ≤ 4．
1
所以实数 的取值范围是( ∞, 4]．
1 3
19.【答案】解：(1)因为 = | ( ) ( )| = | 2 + + 1| = |( + )2 + |, ∈ [0,1]，
2 4
1
由于 ∈ [0,1]，因此( + )2
3
+ ∈ [1,3]，
2 4
1 3
所以 = |( + )2 + | ∈ [1,3]，
2 4
因此 ( )与 ( )的“偏差”为3．
1 1
(2)令 = ( ) ( ) = + 1 ( + 1) = , ∈ [1,2]，

1 1
因为 > 0，所以函数 = 是单调减函数，所以 ∈ [ 2 , 1 ]
2
1
根据题意，函数 = | |， ∈ [ 2 , 1 ]，且 = 2． 2
1 1 1 1 1
当| 2 | > |1 |，即 > 时， = | 2 | = 2， 2 = 2或 2 = 2， 2 2 2 2 2
5 3
解得 = 或 = (舍)．
4 4
1 1
当| 2 | ≤ |1 |，即0 < ≤ 时， = |1 | = 2，解得 = 3或 = 1，不符合． 2 2
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5
综上所述， = ．
4
3 9
(3)因为函所 = | ( ) ( )| = | 2 (2 + )| = | 2 3 | = |( )2 |, ∈ [0,3]，
2 4
3 9 9
由于 ∈ [0,3]，因此( )2 ∈ [ , ]，
2 4 4
3 9 9
根据 = |( )2 |，那么 = {| |, | + |}， 2 4 4
9 9 9
设| | ≥ | + |，所以 2 ≥ ( + )2，所以 ≤ ，
4 4 8
9
9 , ≤
函数 = {| |, | + |} = {
8
4 9 9
+ , >
4 8
9 9
所以当且仅当 = 时，(
8
) = ． 8
9 9
所以当 的值为 时， ( )与 ( )的“偏差”取最小值 ．
8 8
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